Riga&Compasso

[Sk_Anonymous]

Costruire con riga e compasso il triangolo ABC ( vedi fig.) del quale sono noti :
l'angolo $BAC=alpha$, il raggio $OC=R$ della circonferenza $gamma$ circoscritta ad ABC ed infine la distanza $BG=2d$
tra il vertice B ed il baricentro G del triangolo.
Inoltre calcolare la misura di ciascuno del lati del triangolo ABC nell'ipotesi che sia :
$OC=5, sin alpha=4/5, d=1/6 sqrt{130}$

[giammaria2]

Ragazzi, nessuno risponde? Eppure è facile! Provo a darvi qualche suggerimento.

Esame della figura
Detto $M$ il punto medio di $AC$, si ha $BM=...$ perché ... . Inoltre il triangolo $OCM$ è ... perché ...

Costruzione
Disegniamo la circonferenza di centro $O$ e raggio $R$ ed un qualsiasi angolo alla circonferenza $BhatA_1C=alpha$; varranno $alpha$ anche tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su $BC$ dalla stessa parte e quindi dobbiamo solo più trovare la posizione di $A$ sulla circonferenza. Se sapessimo dov'è $M$ ci sarebbe facile; utilizzando quanto detto nell'esame della figura ...
ed ora continuate voi.
Quanto alla seconda domanda, è un normale esercizio di trigonometria.

[elianto84]

Sia \(\displaystyle \Gamma \) una circonferenza di raggio \(\displaystyle R \) e \(\displaystyle ABC \) un triangolo isoscele in \(\displaystyle A \), inscritto in \(\displaystyle \Gamma \) e tale per cui \(\displaystyle \widehat{BAC}=\alpha \).

Sia \(\displaystyle P \) un punto qualunque sull'arco \(\displaystyle BC \) cui appartiene anche \(\displaystyle A \): si ha \(\displaystyle \widehat{BPC}=\alpha \) e il baricentro di \(\displaystyle PBC \),

\(\displaystyle G_P=\frac{B+C+P}{3} \),

varia su una circonferenza \(\displaystyle \Gamma' \)che è l'immagine di \(\displaystyle \Gamma \) secondo un'omotetia di fattore \(\displaystyle \frac{1}{3} \) e centro nel punto medio \(\displaystyle M \) del segmento \(\displaystyle BC \).

Intersecando una circonferenza di centro \(\displaystyle B \) e raggio opportuno con \(\displaystyle \Gamma' \) si otterranno le possibili posizioni (generalmente due, \(\displaystyle G_1,G_2 \)) del baricentro del triangolo-soluzione.

Intersecando le semirette \(\displaystyle MG_1, MG_2 \) con \(\displaystyle \Gamma \) si otterranno le possibili collocazioni \(\displaystyle A_1, A_2 \) del vertice opposto al lato \(\displaystyle BC \).



Nota bene: con riferimento alla figura la soluzione data da \(\displaystyle A_2 \) è da scartare, in quanto \(\displaystyle A_2 \) appartiene all'arco \(\displaystyle BC \) sbagliato. Questo problema di configurazione non ha luogo, invece, per un valore di \(\displaystyle d \) appena più grande:



Applicando il Teorema della secante alla circonferenza \(\displaystyle \Gamma' \) si ottengono facilmente le condizioni per cui una soluzione esista:

\(\displaystyle \left(\sqrt{1+8\sin^2\alpha}-1\right)\leq \frac{6d}{R} \leq \left(\sqrt{1+8\sin^2\alpha}+1\right),\)

e le condizioni per cui ne esistono esattamente due non degeneri:

\(\displaystyle 4\sin\alpha < \frac{6d}{R} < \left(\sqrt{1+8\sin^2\alpha}+1\right).\)

[giammaria2]

La mia soluzione era diversa ed ora la do.
Disegno la circonferenza di centro $O$ e raggio $R$ e su essa prendo un angolo alla circonferenza $BhatA_1C=alpha$: risultano determinate le posizioni di $O,B,C$.

Detto $M$il punto medio di $AC$, per la proprietà del baricentro si ha
$BG=2/3BM->BM=3/2BG=3/2*2d=3d$
e quindi $M$ sta sulla circonferenza $gamma_1$ di centro $B$ e raggio $3d$.

L'angolo $OhatMC$ è retto perché ho congiunto il centro col punto medio di una corda, quindi $M$ sta sulla circonferenza $gamma_2$ di diametro $OC$.

Ne consegue che $M$ è una delle intersezioni di $gamma_1, gamma_2$; ora che l'ho individuato congiungo $C$ con $M$ e prolungo fino ad incontrare in $A$ la circonferenza iniziale.

Non ho spinto oltre la mia soluzione e quindi non saprei dire se entrambe le precedenti intersezioni sono accettabili (a fiuto direi di no) e se ci sono casi degeneri.