Triangolo di area minima

[Sk_Anonymous]

Dopo il problema sul quadrilatero di area massima, vorrei proporre un quesito sul triangolo di area minima.
Precisamente :
si considerino i triangoli dei quali sono noti l'ampiezza $alpha$ dell'angolo $hat{BAC}$ e la misura $h$ dell'altezza AH relativa al lato BC. Senza far ricorso a derivate e simili , determinare, tra i triangoli suddetti, quello di area minima.

[elianto84]

La soluzione è chiaramente data dal triangolo isoscele in A.

Supponiamo, per assurdo, che la soluzione sia data da un triangolo per cui \(\displaystyle AB\neq AC \), diciamo \(\displaystyle AB>AC \).
Consideriamo la circonferenza \(\displaystyle \Gamma \) circoscritta ad \(\displaystyle ABC \) e denotiamo con \(\displaystyle M \) il punto medio dell'arco \(\displaystyle BC \) ove giace anche \(\displaystyle A \). Sia \(\displaystyle N \) il punto medio della corda per \(\displaystyle A \) parallela a \(\displaystyle BC \), \(\displaystyle B' \) e \(\displaystyle C' \) punti del segmento \(\displaystyle BC \) tali per cui \(\displaystyle B'N \) risulti parallelo a \(\displaystyle BM \) e \(\displaystyle C'N \) risulti parallelo a \(\displaystyle CM \).

[geogebra][/geogebra]

Con riferimento alla figura, \(\displaystyle \widehat{BAC}=\widehat{BMC} \) come angoli alla circonferenza e \(\displaystyle \widehat{BMC}=\widehat{B'NC'} \) per parallelismo. Inoltre i triangoli \(\displaystyle ABC \) e \(\displaystyle NB'C' \) hanno la stessa altezza (relativa alla retta per \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \)). Tuttavia il punto \(\displaystyle N \) è interno al triangolo \(\displaystyle BMC \): ciò comporta che si abbia \(\displaystyle B'C'

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[Sk_Anonymous]

La soluzione di Elianto è sicuramente piuttosto ingegnosa. Se dovessi fare una, sia pur piccola, critica, direi che il fatto che il triangolo richiesto sia l' isoscele non dovrebbe essere il punto di partenza ( per poi proseguire per assurdo) ma il punto di arrivo della dimostrazione. In altre parole la soluzione di Elianto avrebbe avuto maggior forza se la consegna fosse stata: " Dimostrare che, fra tutti i triangoli con h ed $alpha $ dati, quello di area minima è l'isoscele."
Per evitare questa incongruenza io farei come segue ( vedi fig.) .

Si ha :
$BA=h/{sin \beta}, CA=h/{\sin\gamma} $
$A_s(ABC)=1/2 BA \cdot CA\sin\alpha={h^2\sin\alpha}/{2\sin\beta\sin\gamma}={h^2\sin\alpha}/{\cos(\beta-\gamma)+\cos\alpha}$
Poiché $h,\alpha$ sono dati , è evidente che il minimo di $A_s(ABC)$ lo si ottiene quando è massimo $\cos(\beta-\gamma)$. Deve essere quindi $\cos(\beta-\gamma)=1->\beta-\gamma=0^{rad}->\beta=\gamma$
In conclusione il triangolo $ABC$ deve essere isoscele su $BC$.

[elianto84]

Ah, carina anche questa, in effetti con le formule di prostaferesi si conclude immediatamente. In realtà io pensavo che la consegna fosse quella di esibire una dimostrazione completamente sintetica, ma la dimostrazione trigonometrica è indubbiamente pregevole.