Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Sia AB una corda di una circonferenza e P il punto sul segmento AB tale che
$AP = 2\cdot PB$. Sia DE la corda per P e perpendicolare ad AB. Dimostrare che
il punto medio Q di AP è l'ortocentro di ADE.
Siano $a_1, a_2, ..., a_{10}$ dei numeri interi. Dimostrare che è possibile trovare dei numeri $x_1, x_2, ..., x_{10} $ appartenenti all' insieme ${−1,0,1}$ tali che $a_1x_1+a_2x_2+...+a_{10}x_{10}$ sia divisibile per $1000$.
E' facile eh
Salve a tutti,
sono nuovo del forum e sono in cerca di un piccolo favore...Mi occorrerebbero le soluzioni di questi 4 problemini che furono assegnati ad un concorso l' anno scorso per vedere se i miei risultati e ragionamenti sono esatti. Vi ringrazio anticipatamente e sappiate che ve ne sarò infinitamente grato!
Immagine problemi :
p.s mi farebbe piacere che le soluzioni mi fossero inviate anche per e-mail per una comodità personale. Nel caso potreste farlo basta che mi inviate un messaggio ...
Ci sono \(\displaystyle1000\) studenti annoiati, ciascuno avente un armadietto personale e numerato.
Gli studenti, per passare il tempo e la noia decidono di fare il seguente gioco: ognuno chiude il proprio armadietto; il primo apre gli armadietti numerati pari (multipli di \(\displaystyle2\)), il secondo chiude gli armadietti aperti ed apre gli armadietti chiusi che sono numerati da multipli di \(\displaystyle3\), il terzo apre gli armadietti chiudi e chiude gli armadietti aperti che sono ...
In uno stanzone di $10\ m xx 4\ m$ ed alto $4\ m$, una mosca si trova intrappolata in una ragnatela posta su una delle pareti quadrate, sulla mezzeria verticale e ad un metro dal soffitto. Sulla parete opposta si trova un ragno anch'esso sulla mezzeria verticale ma ad un metro dal pavimento.
Camminando, qual è la via più breve che il ragno dovrà fare per raggiungere la mosca?
Si prega gentilmente Ciromario & Co. di astenersi, por favor ... almeno per un po' ... trattenetevi ... ...
Definizioni:
In un grafo (finito) con gli archi orientati, indichiamo con $deg(X)$ il numero di archi che partono dal nodo $X$.
Sia $A$ uno dei nodi con grado massimo nel grafo, sia $B$ un nodo di grado minimo.
Chiamiamo valore del grafo la differenza $deg(A)-deg(B)$.
Il grafo è bilanciato quando, invertendo il verso di alcuni archi, non è possibile ottenere un grafo di valore minore.
Chiamiamo percorso una sequenza di nodi ...
Propongo un problema delle olimpiadi della matematica Britanniche.
Trovare tutte le soluzioni reali dell'equazione
\(\displaystyle x+\left \lfloor x/6 \right \rfloor=\left \lfloor x/2 \right \rfloor +\left \lfloor 2x/3 \right \rfloor\)
dove \(\displaystyle \left \lfloor t \right \rfloor\) e` il piu` grande intero minore o uguale a \(\displaystyle t\).
Sono nuovo quindi scusatemi se lo avevate gia` postato.
Il triangolo ABC ha i vertici B e C fissi mentre i terzo vertice A si può muovere sulla retta $a$. Si determini il luogo del baricentro G del triangolo quando A descrive la retta $a$. Il quesito è abbastanza facile percui non necessita di algebra e simili.
N.B. La retta $a$, disegnata in figura, risulta non parallela alla retta BC ma voi potete considerare anche questo caso nonché quello in cui la retta $a$ attraversa il triangolo.
Del triangolo $ABC$ si conoscono $BC=a, AC=b$; sia $S$ il piede della bisettrice dell'angolo $BhatCA$. Determinare il luogo dei punti $S$ quando, fissi $B$ e $C$, $A$ varia sulla circonferenza di centro $C$ e raggio $b$.
Il problema va risolto con la geometria classica; nell'attesa è però ammessa anche una soluzione con analitica e/o trigonometria, purché corredata da ...
Si consideri il quadrato ABCD, inscritto in una circonferenza di raggio dato.
Si determini sull'arco minore $hat{AB}$ il punto $P$ per il quale risulti minima l'espressione:
$\frac{PC\cdot PD}{PA\cdot PB}$
Resta inteso che è vietato l'uso di derivate et similia
P.S. A fine anno scolastico mi permetto una divagazione su i programmi di matematica.
Secondo me sarebbe utile che in determinate classi, anche in tutte volendo, si dedicasse un po' di tempo
( un'ora mensile ?) al ...
Testo dell'esercizio:
"Sia ABC un triangolo con BC = 10. Sia E un punto su BC con BE = 8 e AE = 4. Sia F il piede della bisettrice dell'angolo E nel triangolo AEB. Sia K l'intersezione tra AE ed FC e H quella tra BK e AC. Quanto vale il rapporto tra BK e KH?"
Grazie in anticipo per chi riesce a darmi una mano.
Sia ABC un triangolo qualunque di cui sia I l'incentro. Si prolunghino i lati uscenti da ciascun vertice di un segmento congruente al lato opposto a quel vertice [ vedi figura ]. Si ottengono così i 6 punti L,K, F,E,H,G :
dimostrare che tali punti appartengono ad una medesima circonferenza di centro coincidente con l'incentro I di ABC.
Ciao a tutte/i; scrivo in questa sezione perché non so quale sia quella giusta inerente alla domanda. Quando avete un po’ di tempo, qualcuno può spiegarmi meglio i passaggi di questa dimostrazione trovata in rete.
Ho rimarcato in rosso dove inizio a non capire più.
1+2+3+...+ infinito = - 1/12
Dimostrazione
Chiamo s la somma in questione
s=1+2+3+....
allora
-3s = (1 - 4 )s = s - 4s = 1+2+3+4+.... - 4 (1+2+3+4+...) =
1+2+3+4+... - (4+8+12+16+...) =
sommo i termini pari della prima ...
Nel triangolo ABC, rettangolo in A, risulta :
$\bar{BC}=13,\bar{AB}-\bar{AC}=7$
Calcolare la misura del raggio della circonferenza inscritta in ABC.
Dal punto di vista algebrico la soluzione è banale ma, come sempre, l'invito è risolvere il quesito senza l'uso di incognite
( e di equazioni). Buon divertimento...
$(-1)/1=1/-1$ $->$
$sqrt((-1)/1)=sqrt(1/-1)$ $->$
$sqrt(-1)/1=1/sqrt(-1)$ $->$
$i/1=1/i$ $->$
$i/2=1/(2i)$ $->$
$i/2+3/(2i)=1/(2i)+3/(2i)$ $->$
$i(i/2+3/(2i))=i(1/(2i)+3/(2i))$ $->$
$i^2/2+(3i)/(2i)=i/(2i)+(3i)/(2i)$ $->$
$-1/2+3/2=1/2+3/2$ $->$
$1=2$
Questo problema si ispira a quello recentemente proposto da ciromario ma ha soluzione diversa.
Del triangolo qualsiasi $ABC$ si sa che $BC=13$ e che $AB-AC=7$. Detto $T$ il punto in cui $BC$ tocca la circonferenza inscritta, calcolare $BT$ oppure dire che i dati forniti sono insufficienti.
Dimostrare che $sin(n)$ con $n$ naturale si può avvicinare a piacimento a qualunque valore reale nell'intervallo $[-1,1]$.
Ovvero: scelgo un valore $\alpha$ in $[-1,1]$ e scelgo un $\epsilon > 0$. Qualunque siano $\alpha$ ed $\epsilon$ riesco a trovare un $n$ tale che $|sin(n)-\alpha| < \epsilon$.
Sia ABC un triangolo rettangolo In $A$, di cui sia $D$ l'incentro. La ( piccola ) sfida è questa :
Sapendo che $\bar{DC}=2\sqrt5, \bar{DB}=2\sqrt{10}$, calcolare le misure dei lati di ABC senza porre incognite ( e quindi senza risolvere equazioni). Buon divertimento...
Il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di centro G e l'altezza relativa al lato BC è AD ( vedi fig.).
La circonferenza di diametro AD taglia i lati AB ed AC nei punti F ed H, rispettivamente.
Dimostrare che le rette $AG , FH$ sono perpendicolari.
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