Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Calcolare gli angoli interni di un triangolo isoscele sapendo che il baricentro di quest'ultimo appartiene alla circonferenza inscritta nel triangolo medesimo.
Calcolare il seguente integrale:
$$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{x\sin^2(x)}{\sinh(x)\arcsin(x)}dx$$
Suggerimento:
Tutto fumo e niente arrosto...
Inserisco due immagini PNG che sono le due pagine di un breve mio saggio.
NB, Invano mi sono s-cervellato per ottenere una espressione compatta delle ampiezze delle componenti armoniche della mia "Onda Rotonda".
Non ho saputo fare di meglio che svilupparle in serie di potenze (dell'ordine di armonica).
Ma c'è ancora un inconveniente di cui potremmo parlare dopo, su eventuale richiesta di qualche eventuale lettore
Buona lettura.
––> Componenti armoniche dell'Onda rotonda –pag. 1 di 2
––> Componenti armoniche dell'Onda rotonda –pag. 2 di 2
Nel triangolo rettangolo ABC l'altezza AH relativa all'ipotenusa BC e la bisettrice AL dell'angolo BAC hanno le seguenti misure:
$\bar{AH}=12$
$\bar{AL}=\frac{60}{7}\sqrt2$
Calcolare la misura del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo.
Nel triangolo ABC la mediana AD interseca la bisettrice interna CE nel punto F. Dimostrare che è :
${CF}/{FE}={BC}/{AC}+1$
P.S. Malgrado la sua apparente semplicità, la relazione cela una difficoltà non propriamente lieve. La sfida è aperta!
Vi propongo un problema che ho trovato molto interessante.
Trovare il numero di cinquine di interi naturali $ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) $ che risolvono l'equazione
$ x_1+x_2+x_3+x_4+3x_5=8 $
Salve, potreste aiutarmi? Il problema è questo:
Calcola le terne di numeri reali per cui ogni numero elevato alla 4° è uguale alla somma degli altri due.
Ciao a tutti, sono Marco, ho 17 anni e faccio la quarta di scienze umane.
Stavo provando a fare questo problema del test d'ammissione della Normale di Pisa
"Si consideri il polinomio:
\(\displaystyle p(x, y) = \frac{(x + y) ^ 2 + 3x + y}{2}\)
(...)
3) Si dimostri che la funzione \(\displaystyle p: \mathbb{N}^2 \mapsto \mathbb{N}\) che associa a (x, y) il numero naturale p(x, y) è invertibile"
Quello che ho provato a fare io è stato
a = x + y (per comodità)
\(\displaystyle 2p = a ^ 2 + ...
Trovare la somma di
$ arctan(1)+arctan(2)+arctan(3) $.
Dimostrare che in una successione di 18 numeri consecutivi da 3 cifre ne esiste almeno uno che è divisibile per la somma delle sue cifre.
Ritiro tutto quello che ho detto sulla dimostrazione con 9 perché,come avete fatto giustamente notare, è una fesseria e chiarisco il mio abbozzo.
Allora io ho approcciato così: detti a,b,c le 3 cifre del numero che consideriamo abbiamo tutte comprese tra 0 e 9 con a diverso da 0. Cerchiamo 100a+10b+c=a+b+c=0 (mod a+b+c). Quindi portando a sinistra è 99a+9b=0 ...
Sia $a_n$ una successione di interi positivi tali che
$$a_{n+1}=a^3_n+1999$$
per ogni $n\in \mathbb{N}$. Dimostrare che il numero dei quadrati perfetti contenuti in questa successione è minore o uguale a 1.
Fonte del problema: Test di allenamento per le Olimpiadi Internazionali (della Matematica ovviamente).
Non ho una soluzione, ci sto lavorando...
Nella circonferenza di diametro AB e centro O è inscritta la corda BC. Tale corda si prolunga di CD=BC e sia P il punto
d'intersezione tra AC e OD [vedi figura].
Determinare il luogo descritto da P quando C si muove sulla circonferenza data.
Si preferisce la soluzione puramente geometrica
Come si risolve un problema del tipo
Determina per quali valori del parametro reale k le seguenti disequazioni sono equivalenti:
a)$(sqrt(x^2-4) < K$
b) $ ( 5- x^2) (|x| -k -1) > 0 $
Ho provato a trovare le soluzioni di entrambe e ad uguagliarle ma è complicato Grazie
Su un libro delle medie una mia allieva ha trovato questo teorema, ma non c'è la dimostrazione
In ogni triangolo rettangolo, in cui $c$ rappresenta la misura dell'ipotenusa e $a, b$ le misure dei cateti, detto $k$ il rapporto $(c+b)/a$ e $k'$ il rapporto $(c+a)/b$ sussiste la relazione $k'=(k+1)/(k-1)$. Due triangoli rettangoli sono simili se e solo se il valore k è lo stesso
Qualcuno si vuole cimentare?
Ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo? Individuare la classe di funzioni φ:R-->R tali che φ(x)
Ciao ragazzi, vorrei proporvi alcuni test di ammissione della ss di catania del 2010' che non riesco proprio a risolvere
1 Due interi a e b soddisfano l'equazione $ a=a^2+b^2 -8b -2ab+16 $ si dimostri che allora a è un quadrato
2 Sia d un punto all'interno di un triangolo acutangolo ABC, si dimostri che se i tre cerchi circoscritti ai triangoli ABD, BCD, e CAD hanno lo stesso raggio allora D è l'ortocentro del triangolo ABC
3 Dati sei interi positivi distinti, qual è il ...
Salve, avrei bisogno di spiegazioni su questo risultato
$ (sum_(k = 1)^(n-r+1)k( (n-k), (r-1) ) )/( ((n), (r) ) ) = (n+1)/(r+1) $
è il passaggio finale dell'esercizio 8 del test di ammissione 2011 alla scuola superiore di catania per matematica. Non sono riuscito a capire se questa è una formula esistente o è il risultato di un calcolo che devo eseguire. Qualcuno può aiutarmi?
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