Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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mi sono imbattuto [nota]a seguito della proposta di un esercizio impegnativo sulle diseguaglianze, cercavo nella rete dei papers per rinfrescarmi la teoria (sono molti anni che non faccio più queste cose) e ho fatto questa felice scoperta[/nota] nel documento che allego(*) e da cui ho tratto alcuni degli ultimi problemi proposti.
Quelli riferenziati con CRUX pr. abc.
Mi propongo di cercare far questi dei problemi facili - che non richiedano molto tempo- da risolvere e di proporli nel ...
Sia n un intero positivo e siano 1 = $d_1 < d_2 < . . . < d_k$ = n i suoi divisori, elencati in ordine crescente. Determinare tutti gli n tali che k > 3 e n = $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$
Scusate per il repost ma il testo vecchio era sbagliato e ho pensato fosse più corretto cambiarlo per far notare il cambiamento anche a chi lo avesse già letto.
Sia ABC un triangolo con AB > AC. Chiamiamo D il piede dell’altezza da A a BC, E ed F i punti medi dei lati AD e BC rispettivamente e G il piede della perpendicolare da B ad AF. Dimostrare che EF tange in F la circonferenza passante
per G , F , C.
Giada e Federico giocano ad un gioco. Iniziano con n palline e ad ogni mossa possono togliere o 3 o 4 palline. Perde chi non può più muovere (cioè al suo turno non sono rimaste abbastanza palline da togliere) e inizia Giada. Chi vince?
Sia ABC un qualsiasi triangolo, sia I il suo incentro e siano D, E, F i punti di tangenza della circonferenza inscritta con i lati AB, AC e BC. Se X, Y e Z sono rispettivamente i punti medi dei segmenti DE, EF e DF, provare che il circocentro del triangolo XYZ, il circocentro del triangolo ABC e l'incentro I sono allineati.
Salve, è da oggi che sto perdendo dietro a questa semplice equazione, che parte come a=b+c e termina con a=b! Proprio non riesco a spiegarmela! Il mio professore ce l'ha assegnato come un indovinello, e ci ha già suggerito che un passaggio è sbagliato. Mi piacerebbe poter avere in vostro aiuto a risolvere l'incongruenza di questa equazione. Grazie
ECCO LA FOTO DELL'EQUAZIONE:
Trovare tutti i polinomi \( p(x) \in \mathbb{R}[x] \) tali che \( p(x^2)= p(x) p(x-1)\).
Scelto un punto M del segmento AB tale che risulti AM < MB, eseguire con riga e compasso la costruzione di un segmento di lunghezza uguale alla media armonica (*) delle lunghezze di AM e MB.
(*) La "media armonica" di due numeri reali e positivi è il reciproco della media aritmetica dei loro reciproci, cioè:
Media Armonica di x > 0 e y > 0: $m_h(x, y) = 2/(1/x + 1/y)=(2xy)/(x+y)$.
________
Trovare tutti gli interi positivi dispari $n$ tali che $n$ divide $3^n +1$.
Siano $a>b>c>d$ numeri naturali, supponiamo che
$$ac+bd=(a+b-c+d)(b+c-a+d)$$
dimostrare che $ab+cd$ non è primo.
Suggerimento:
Centrano qualcosa i quadrilateri ciclici.
Salve a tutti, dando ripetizioni mi è capitato questo problema che mi ha lasciato abb. perplesso. Qualcuno mi può spiegare come risolvere, sto perdendo colpi.
Scusatemi
Costruire un triangolo rettangolo di cui si conoscono le mediane relative ai cateti[nota]Questo problema deriva dalle riflessioni su questo viewtopic.php?f=47&t=155573[/nota].
Determinare tutte le funzioni f : R → R tali che f(f(x − y)) = f(x)f(y) −
f(x) + f(y) − xy per ogni x e y reali.
Dato un modo di numerare le caselle di una scacchiera n × n con i numeri
da 1 a $ n^2 $ , si consideri la massima differenza presente fra i numeri di due caselle “vicine”
(dove per vicine s’intende che hanno un lato o un vertice in comune).
Qual e il minimo di tale differenza al variare della numerazione fra le $ (n^2)! $ possibili?
041.
The two heights in the triangle are not less than the respective sides.
Find the angles.
PS
questo è proprio carino!!
Dato un cerchio e una sua corda AB con punto medio M ed S il punto medio di uno degli archi AB. Sia P un punto dell'arco AB che non contiene S, siano R ed N i punti di intersezione delle semirette PS e PM con la corda AB e l'arco AB rispettivamente. Provare che RS >MN
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” p.75
PS
direi che sia abbastanza impegnativo, ma molto carino.
Trovare tutte le funzioni continue $f: RR->RR$ che soddisfano $f(f(x+y))= f(x)+f(y)$ per ogni $x,y in RR$.
In quanti modi posso scrivere 6^20 come somma di tre interi positivi (non importa in quale ordine)?
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