Punti notevoli

[Angelo210]

Sia ABC un qualsiasi triangolo, sia I il suo incentro e siano D, E, F i punti di tangenza della circonferenza inscritta con i lati AB, AC e BC. Se X, Y e Z sono rispettivamente i punti medi dei segmenti DE, EF e DF, provare che il circocentro del triangolo XYZ, il circocentro del triangolo ABC e l'incentro I sono allineati.

[Sk_Anonymous]

l'incentro I di quale triangolo?

da come è scritto sembrerebbe di ABC, ma se fosse così, I coinciderebbe con il circumcentro di XYZ e quindi avremmo solo due punti distinti

[orsoulx]

@

"sprmnt21":l'incentro I di quale triangolo?

L'incentro di ABC come pensi. Il circocentro di XYZ coincide con questo solo per il triangolo equilatero: X, Y e Z non sono i punti di tangenza della circonferenza iscritta in ABC.

[Angelo210]

In generale, l'incentro I di ABC coincide con il circocentro di DEF e con l'ortocentro di XYZ.
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a dimostrare che il circocentro di XYZ, il circocentro di ABC e l'incentro I di ABC sono allineati?

[Sk_Anonymous]

"Angelo":In generale, l'incentro I di ABC coincide con il circocentro di DEF e con l'ortocentro di XYZ.
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a dimostrare che il circocentro di XYZ, il circocentro di ABC e l'incentro I di ABC sono allineati?

per il momento (non ho il tempo di dettagliare ogni singola affermazione. Queste sono, di per sé, dei veri e propri teoremi abbastanza noti a chi si occupa di geometria) posso proporti una struttura di una soluzione indicando i vari passi.
Se la cosa interessa, alla prima occasione (magari una riunione di lavoro pallosa), posso fornire tutti i dettagli del caso.

Indico con $c(XYZ)$ cerchio circoscritto al triangolo $XYZ$ e similmente per gli altri.
1.$c(XYZ)$ è il cerchio dei nove punti del triangolo $DEF$. E' pertanto anche il cerchio circoscritto al triangolo ortico di $DEF$. Indico con $HKL$ questo triangolo;
2. $HKL$ è omotetico con $ABC$ in una omotetia di centro $W$, quindi i rispettivi ortocentri $O_h$ e $O$ sono allineati a $W$. Anche $I_h$ ed $I$ sono allineati a $W$;[nota]in effetti i punti 1. e 2. sono la vera chiave/difficoltà del problema. Il resto è conoscenza della "letteratura" in materia.[/nota]
3. $O_h$ è il centro di $c(HKL)$ che è, come detto, il cerchio dei nove punti di $DEF$. Pertanto, come si può provare, $O_h$ sta sulla linea di Eulero di $DEF$.
4. la linea di Eulero passa per l'ortocentro e il circumcentro del triangolo $DEF$. Ma questi sono proprio $I_h$ ed $I$ rispettivamente;
5. quanto suddetto implica che $I_h$, $O_h$, $I$ ed $O$ stanno tutti su una stessa linea.

[Sk_Anonymous]

"orsoulx":@[quote="sprmnt21"]l'incentro I di quale triangolo?

... X, Y e Z non sono i punti di tangenza della circonferenza iscritta in ABC.[/quote]
hai intuito bene!
avevo fatto delle riflessioni sul problema a "mente" senza fare schizzi su carta e ho mischiato un po' i vertici dei triangoli.

PS
per chi è religioso, potrà far piacere osservare che il punto in questione è uno e trino (è Incentro di ABC, Circumcentro di DEF, Ortocentro di XYZ).