Diseguaglianza cruciale
Dato un cerchio e una sua corda AB con punto medio M ed S il punto medio di uno degli archi AB. Sia P un punto dell'arco AB che non contiene S, siano R ed N i punti di intersezione delle semirette PS e PM con la corda AB e l'arco AB rispettivamente. Provare che RS >MN
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” p.75
PS
direi che sia abbastanza impegnativo, ma molto carino.
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” p.75
PS
direi che sia abbastanza impegnativo, ma molto carino.
Risposte
Io ci sono andato per via leggermente analitica:
perché non svolgi completamente la diseguaglianza?
quelle da te trovate sono espressioni abbastanza complicate, non credo sia autoevidente la condizione di maggiorazione.
PS
i problemi presi dalla rivista CRUX sono molto più impegnativi di quelli pressi dalle olimpiadi sovietiche (credo rivolti, in gran parte, a ragazzini dai 14 ai 16 anni).
Ne approfitto per precisare che la "p" di
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” p.75
sta per "problema" non per "pagina"
quelle da te trovate sono espressioni abbastanza complicate, non credo sia autoevidente la condizione di maggiorazione.
PS
i problemi presi dalla rivista CRUX sono molto più impegnativi di quelli pressi dalle olimpiadi sovietiche (credo rivolti, in gran parte, a ragazzini dai 14 ai 16 anni).
Ne approfitto per precisare che la "p" di
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” p.75
sta per "problema" non per "pagina"
Più che altro ho delineato la soluzione per la curiosità di sentirmi dire "c'era un metodo migliore", visto anche che non rientro nella categoria 14-16 anni. Comunque la soluzione della disequazione è:
"sprmnt21":
perché non svolgi completamente la diseguaglianza?
insisto nella richiesta di svolgere la diseguaglianza. Secondo me, partendo dalle tue relazioni (che do' per buone) ne può venire fuori una cosa (da abbastanza a molto) carina.
Che intendi? Ho appena svolto la disuguaglianza nel post appena sopra.
"robbstark":
Più che altro ho delineato la soluzione per la curiosità di sentirmi dire "c'era un metodo migliore", visto anche che non rientro nella categoria 14-16 anni. Comunque la soluzione della disequazione è:
non avevo ancora letto questo tuo post quando ho scritto quell'altro, in cui insistevo nella richiesta.
io, per preferenze personali, approccio questi problemi per via geometrica, ma devo dire che in questo caso la tua via analitica è altrettanto "panoramica" e ha il vantaggio di essere più semplice e diretta, almeno della soluzione che ho trovato io.
PS
i problemi della CRUX non sono dedicati a ragazzini adolescenti, ma ad appassionati di matematica elementare di tutti i livelli, dai ragazzini ai ricercatori universitari.
"sprmnt21":
io, per preferenze personali, approccio questi problemi per via geometrica, ma devo dire che in questo caso la tua via analitica è altrettanto "panoramica" e ha il vantaggio di essere più semplice e diretta, almeno della soluzione che ho trovato io.
Sono comunque curioso di sapere la via geometrica, anche perchè ritengo che la via analitica sia una scorciatoia che facilita i problemi, ma è più soddisfacente risolverli con mezzi meno avanzati. Magari ci provo ancora un po' comunque prima di leggere l'eventuale soluzione che posterai.
posterò una soluzione geometrica, appena ho tempo di riordinare gli appunti e fare un grafico decente.
Forse sono riuscito per via sintetica. Allego figura.
I triangoli $RSM$ e $PCS$ sono simili in quanto entrambi rettangoli, con un angolo in comune nel vertice $S$.
In particolare risulta $S \hat R M = P \hat C S$.
Ma $P \hat CS = P \hat NS$, in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
Dunque $S \hat R M = P \hat NS$.
Il luogo dei vertici degli angoli uguali che insistono su un segmento è dato da due archi di circonferenze uguali, di cui il segmento è la corda comune. In questo caso $MS$ è la corda comune, $N$ ed $R$ gli altri vertici.
Notiamo che la corda $RS$ è opposta ad un angolo retto, mentre la corda $MN$ è opposta ad un angolo acuto.
Essendo corde di circonferenze uguali, questo basta per concludere che $RS > MN$.
I triangoli $RSM$ e $PCS$ sono simili in quanto entrambi rettangoli, con un angolo in comune nel vertice $S$.
In particolare risulta $S \hat R M = P \hat C S$.
Ma $P \hat CS = P \hat NS$, in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
Dunque $S \hat R M = P \hat NS$.
Il luogo dei vertici degli angoli uguali che insistono su un segmento è dato da due archi di circonferenze uguali, di cui il segmento è la corda comune. In questo caso $MS$ è la corda comune, $N$ ed $R$ gli altri vertici.
Notiamo che la corda $RS$ è opposta ad un angolo retto, mentre la corda $MN$ è opposta ad un angolo acuto.
Essendo corde di circonferenze uguali, questo basta per concludere che $RS > MN$.
Direi che va bene. Di più non ti dico in quanto, sostanzialmente, uguale a quella che ho trovato io 
a parte l'uso di una diversa figura ausiliaria.
Eccola di seguito, con sintetiche considerazioni in riferimento ad una delle configurazioni possibili.
Siam $S' $ tale che $MRSS'$ sia un parallelogramma.
$SS'$ è tangente al cerchio dato, pertanto $\angle NSS'=\angleNPS$
Per il aprallelismo di RS ed MS', risulta pure $\angleNPS=\angle NMS'$ pertanto $NMSS'$ è ciclico.
Ma essendo $\angle MSS'=\pi/2$ si ha che MS' è il diametro di un cerchio di cui MN è una corda.
e questo, come usa dire in altri contesti, chiude il cerchio
.
a parte l'uso di una diversa figura ausiliaria.Eccola di seguito, con sintetiche considerazioni in riferimento ad una delle configurazioni possibili.
Siam $S' $ tale che $MRSS'$ sia un parallelogramma.
$SS'$ è tangente al cerchio dato, pertanto $\angle NSS'=\angleNPS$
Per il aprallelismo di RS ed MS', risulta pure $\angleNPS=\angle NMS'$ pertanto $NMSS'$ è ciclico.
Ma essendo $\angle MSS'=\pi/2$ si ha che MS' è il diametro di un cerchio di cui MN è una corda.
e questo, come usa dire in altri contesti, chiude il cerchio
.
Bella soluzione anche questa. Come hai notato sono piuttosto simili.
Probabilmente la tua è mediamente più semplice da capire della mia verso la fine.
Probabilmente la tua è mediamente più semplice da capire della mia verso la fine.
Carinissima la via geometrica!
Per quanto riguarda la via analitica, però, non mi è solo chiaro come hai ricavato $MN$ come $\frac{r^2-d^2}{ \sqrt{r^2 +d^2 -2rd \cos(2x)}}$
"robbstark":
Per quanto riguarda la via analitica, però, non mi è solo chiaro come hai ricavato $MN$ come $\frac{r^2-d^2}{ \sqrt{r^2 +d^2 -2rd \cos(2x)}}$
Deriva da un'applicazione del teorema di Tolomeo 
.
Scherzo, deriva dal fatto che AM.MB=NM.PM
.Scherzo, deriva dal fatto che AM.MB=NM.PM
"sprmnt21":
Scherzo, deriva dal fatto che AM.MB=NM.PM
Confermo, e ovviamente PM è ricavato col teorema di Carnot.
Giusto! Carinissima anche la via analitica 
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