Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Sia $n \ge 2$ un intero e sia $X$ un insieme di $n$ elementi. Siano $A_1, A_2,...,A_{101}$ sottoinsiemi di $X$ tali che l'unione di ogni 50 abbia piu` di $(50n)/51$ elementi. Dimostrare che esistono tre degli $A_i$ tali che le intersezioni di ogni due siano non vuote.
Trovare tutti gli interi $n$ tali che $9n+1$ e $4n+9$ siano entrambi quadrati perfetti.
Provare che se P(x) e un polinomio a coefficienti interi tale che P(0) e P(1) sono interi dispari, allora P(x) non può avere radici intere.
La città di Sapi è una città immaginaria, di estensione infinita. Copre l'intero piano cartesiano; le strade sono le rette orizzontali e verticali di equazioni y = n o x = n, dove n è un intero arbitrario. Di conseguenza, gli incroci sono precisamente i punti con coordinate intere. Il fiume Orna attraversa la città in diagonale secondo la retta y = x + 1/2.
Alessia si muove per la città senza fermarsi mai partendo dall'incrocio (0;0) e procedendo solo verso nord e verso est.
- Quanti sono i ...
I lati e le diagonali di un ottagono regolare sono colorati in rosso o nero. Dimostrare che esistono almeno 8 triangoli monocromatici con i vertici nei vertici dell'ottagono.
Calcolare
$cos(15°)+cos(35°)+cos(55°)+...+cos(315°)+cos(335°)$
Generalizzare il procedimento e trovare una forma chiusa per il calcolo delle seguenti somme
[tex]\sum _{k=1}^{n} cos(ak+b)[/tex]
e
[tex]\sum _{k=1}^{n} sen(ak+b)[/tex]
Con n naturale
a, b reali
Ciao a tutti. Mi sono iscritto per chiedervi un aiuto.
Si tratta di un problema di matematica applicato alla vita, credevo di essere in grado, ma evidentemente non è così. -_-
Vi metto qua sotto tutti i dati del problema, spero possiate aiutarci.
Siamo 4 amici che, per risparmiare sulle spese di spedizione, hanno deciso di creare un gruppo d'acquisto. Vogliamo comprare tutti insieme la base liquida per sigaretta elettronica al quale poi ognuno aggiungerà i propri aromi.
L'obiettivo primario ...
Trovare tutti gli n tali che esiste una permutazione σ di {1, . . . , n} tale che
$ sqrt(σ(1)+sqrt(σ(2)+sqrt(...+sqrt(σ(n-1)+sqrt(σ(n))))) $ è razionale
Trovare il più "piccolo" numero naturale n diverso da 0 tale che:
[tex]\frac{n}{2}[/tex]è un quadrato perfetto
[tex]\frac{n}{5}[/tex]è una quinta potenza perfetta
[tex]\frac{n}{7}[/tex]è una settima potenza perfetta
Hint:
Provate a ragionare su qualcosa del tipo [tex]n=2^x \cdot 5^y \cdot 7^z[/tex] con [tex]n, ~x,~y,~z \in \mathbb{N}[/tex]
Trovare tutte le funzioni $f: ZZ -> ZZ$ tali che per ogni $a,b in ZZ$ si abbia $f(a+f(b)) = f(a)-b$.
Salve,
propongo il seguente problemino:
Sia \(\displaystyle n = 100! + 1 \). Per quale dei seguenti numeri è divisibile \(\displaystyle n \)?
A) 225
B) 1000
C) 144
D) nessuna delle risposte è corretta
Fornire una spiegazione adeguata
Grazie a chiunque voglia dedicarci del tempo.
Saluti
Sia $x in [0,1]$, dimostrare in modo alternativo che $(1-x)^n<=1-x^n$
Con alternativo intendo senza induzione e senza altri risultati classici dell'analisi
Nota: la "dimostrazione" che ho in mente io e' tra virgolette e abbastanza "fantasiosa"
Trovare tutte le funzioni $f:RR \mapsto RR$ tali che
$$f(x^2+y)=f(xy)$$
e le funzioni $f :[0,+\infty) \mapsto RR$ tali che
$$f(x)=\sum_{k=0}^{[x]}f(2^{-k})$$
Sia $n>2$ e siano $x,y$ soluzioni razionali "positive" dell'equazione $1-4x^n=y^2$, supponiamo che esista $p \in NN^{\ast}$ tale che $p^2x \in ZZ$ e $(p^2x,p)=1$. Dimostrare che $p^ny$ non è intero.
I numeri $d(n,m)$, con $0 \le m \le n$ interi, sono definiti nel modo seguente:
1. $d(n,0)=d(n,n)=1$ per ogni $n \ge 0$.
2. $md(n,m)=md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1)$, per $0<m<n$.
Dimostrare che $d(n,m)$ è sempre intero.
Guardate quest'immagine..
Alberto é nato 5 anni prima di andrea. Il rapporto x/y tra l'età x di Andrea e l'età y di alberto é descritto in funzione del tempo da quale grafico??(ho già riportato quello corretto, ma mi spiegate come faccio a trovarlo)
Ho iniziato facendo x/(x-5) e poi?
Data una stringa di $ n $ elementi diversi, si può ottenere una qualsiasi sua permutazione con, al più, $ n-1 $ scambi.
Supponiamo sia possibile eseguire più scambi contemporaneamente con quello che chiamiamo superscambio; naturalmente un singolo elemento può comparire al massimo una volta in un superscambio.
Quanti superscambi occorrono, al massimo, per ottenere una qualsiasi permutazione di $ n $ elementi?
Assegnata la permutazione, quale algoritmo permette ...
Dato un qualsiasi punto su una ellisse, è possibile inscrivere in essa un triangolo equilatero con vertice nel punto scelto?
Trovare tutte le funzioni \(\displaystyle f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^* \) tali che \(\displaystyle \frac{ f(x+y) +f(x) }{2x+f(y)} = \frac{2y+f(x)}{f(x+y)+f(y)} \) per ogni \( x,y \in \mathbb{N}^*\).
Trovare la formula chiusa della successione:
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,ecc...
Con formula chiusa intendo dire un'applicazione $f: NN^{*} \mapsto RR^{NN}$ che associa ad ogni naturale positivo $n$ il termine $n-esimo$ della successione. Esempio:
0,2,6,12,20,...
Formula chiusa: $a_n=n^2-n$
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