Funzioni

[giulylanza06]

Determinare tutte le funzioni f : R → R tali che f(f(x − y)) = f(x)f(y) −
f(x) + f(y) − xy per ogni x e y reali.

[kobeilprofeta]

per x=y
$f^2(0)=f^2(x)-x^2$
quindi, a meno di costanti additive, $f^2$ si comporta come $x^2$.

direi che sono le rette parallele ad una delle due bisettrici del piano

[Sk_Anonymous]

Per $x=y=0$, si ha che $f(f(0))=f^2(0)$.
Posto $f(0)=c$, da $x=y$, si ricava che le soluzioni devono soddisfare alla seguente relazione $f^2(x)=x^2+c^2$ (*) (non è vero, in generale, il viceversa!).
Se $c=0$ la relazione (*) ha come soluzioni possibili le seguenti funzioni:
$f(x)=x$
$f(x)=|x|$
$f(x)=-x$
$f(x)=-|x|$
Sostituendo direttamente nella equazione data, si verifica che solo $f(x)=-x$ la soddisfa.
Analiziamo il caso $c\ne 0$. In questo caso le possibili soluzioni sono del tipo:


(1) $f(x)=\sqrt{x^2+c^2}$

(2) $f(x)={(\sqrt{x^2+c^2} \text{ per } x>=0),( -\sqrt{x^2+c^2} \text{ per } x<0):}$

(3) $f(x)={(-\sqrt{x^2+c^2} \text { per } x>=0),( \sqrt{x^2+c^2} \text { per }x<0):}$

(4) $f(x)=-\sqrt{x^2+c^2}$

Una verifica di queste potenziali soluzioni dovrebbe (confesso di non aver fatto tutte le verifiche) portare alla conclusion che nessuna di queste soddisfa (in effetti la (3) funzionerebbe con c=0, ma è la soluzione già considerate).

[Sk_Anonymous]

Se non erro per "limitare" c si può procedere così:
$f(c)=c^2$ $f^2(c)=2c^2$
Quindi $c=0 o c^2=2$

[Sk_Anonymous]

per eveitare di fare verifiche troppo calcolitiche, si potrebbe procedere così:

Utilizzando il seguente risultato:

"sprmnt21":per "limitare" c si può procedere così:
$f(c)=c^2$ $f^2(c)=2c^2$
Quindi $c=0$ o $c^2=2$

e ricordando che da $f(0)=c$ e ponendo $x=y$ l’equazione data implica la (*) $f(c)=c^2=f^2(x)-x^2$
Quest’ultima per $x=c$ e $x=-c$ dà $f^2(c)=f^2(-c)=2c^2$ ovverossia $f(c)=f(-c)$ o $f(c)=-f(-c)$.
Dall’equazione data,
perr $x=c; y=0$ si ottiene $f(f(c))=f(c)c-f(c)+c$ e
perr $x=0; y=-c$ si ottiene $f(f(c))=cf(-c)-c+f(-c)$
cioè
$cf(c)-f(c)+c= cf(-c)+f(-c)-c$.
Valutando quest’ultima per $f(c)=f(-c)$ si ottiene che $f(c)=c$ cioè $c^2=c$ quindi $c=0$ o $c=1$.
Analogamente procedendo per $f(c)=-f(-c)$ si ottiene che $2c(f(c)+1)=0$ che si verifica solo per $c=0$, essendo evidentemente sempre $c^2+1\ne0$.

Pertanto l'unica possibilità è che $c=0$ e la (*) si riduce a $f^2(x)=x^2$, delle 4 possibilità solo la (3) del messaggio precedente verifica l'equazione originaria.