Teoria dei numeri

[giulylanza06]

Sia n un intero positivo e siano 1 = $d_1 < d_2 < . . . < d_k$ = n i suoi divisori, elencati in ordine crescente. Determinare tutti gli n tali che k > 3 e n = $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$
Scusate per il repost ma il testo vecchio era sbagliato e ho pensato fosse più corretto cambiarlo per far notare il cambiamento anche a chi lo avesse già letto.

[Gi81]

Se $n$ è dispari, non ci sono soluzioni

infatti, se $n$ è dispari $d_i$ è dispari per ogni $i in {1,2,3,4}$,
quindi $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$ è pari (perché è somma di quattro numeri dispari).

Se $6 |n$ non ci sono soluzioni

Si ha $d_1=1$,$d_2=2$, $d_3=3$. Distinguo tre casi:

[*:28lztt3y]se $4$ divide $n$, allora $d_4=4$ e $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2= 1+4+9+16= 30$,
ma non può essere $n=30$ perché non è divisibile per $4$.[/*:m:28lztt3y]
[*:28lztt3y]se $4$ non divide $n$ e $5$ divide $n$, allora $d_4=5$ da cui $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2= 1+4+9+25= 39$,
ma non può essere $n=39$ perché non è divisibile per $6$.[/*:m:28lztt3y]
[*:28lztt3y]se $4$ e $5$ non dividono $n$, si ha $d_4=6$, da cui $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2= 1+4+9+36= 50$,
ma non può essere $n=50$ perché non è divisibile per $6$.[/*:m:28lztt3y][/list:u:28lztt3y]

Se $n$ è pari c'è solo la soluzione $n=130$.

(possiamo già escludere che $3$ divide $n$, perché il caso $6 |n$ l'abbiamo già sistemato)
Si ha $d_1=1$,$d_2=2$. Distinguo due casi:

[*:28lztt3y]se $4$ divide $n$, allora $d_3=4$, da cui $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2= 1+4+16+d_4^2= 21 +d_4^2$.
ma, qualunque sia $d_4$, non si avrà mai $21 +d_4^2$ divisibile per $4$
(perché se $d_4$ è pari allora $21 +d_4^2$ è dispari, e se $d_4$ è dispari allora $21+d_4^2 -=2 (mod 4)$).[/*:m:28lztt3y]
[*:28lztt3y] se $4$ non divide $n$, allora $d_3=p$, con $p>=5$ numero primo.
Inoltre o $d_4 = q$, con $p Nel primo caso si ha $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2 = 1+4+p^2+q^2 = 5+p^2+q^2$, che è dispari
(perché è la somma di tre numeri dispari), quindi non può essere $n= 5+p^2+q^2$.
Nel secondo caso abbiamo $d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2 = 1+4+p^2+4p^2 = 5+5p^2= 5(1+p^2)$
Ma allora abbiamo una soluzione: prendendo $p=5$ si ottiene $n=5*26=130$.
Quindi $n=130 $ è soluzione, e non ce ne sono altre.[/*:m:28lztt3y][/list:u:28lztt3y]