Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Iniziamo con un punto $S(a,b)$ del piano con $0<b<a$, e generiamo una sequenza di punti $S_n(x_n,y_n)$ tali che
$x_0=a$, $y_0=b$, $x_{n+1}=(2x_ny_n)/(x_n+y_n)$, $y_{n+1}=(2x_{n+1}y_n)/(x_{n+1}+y_n)$. Dimostrare che $lim x_n=lim y_n$ e trovare questo limite.
Sia $(a,b,c)$ una terna pitagorica primitiva. Provare che al più un solo elemento della terna può essere un quadrato perfetto.
Hint (piccolo):
Utilizzare il fatto che gli elementi di una terna pitagorica primitiva possono sempre scritti come:
$a = m^2 - n^2$
$b = 2mn$
$c = m^2 + n^2$
dove $m$ ed $n$ sono primi tra loro, uno pari, l'altro dispari.
Dimostrazione:
Che date le espressioni di sopra risulti $a^2 + b^2 = c^2$ è un banale calcolo da ...
032.
Given equilateral triangle with the side l.
What is the minimal length d of a brush (segment), that will paint all
the triangle, if its ends are moving along the sides of the triangle.
Siano $a,b,c,d $ reali positivi tali che $a+b+c+d=4$. Dimostrare che $4/(abcd) \geq a/b+b/c+c/d+d/a$.
023.
What maximal area can have a triangle if its sides a,b,c satisfy
inequality 0
019.
Given a quartet of positive numbers a,b,c,d, and is known, that abcd=1.
Prove that a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + dc >= 10
PS
Non ne ho visti tanti di problemi sulle diseguaglianze. Questa non è difficilissima.
Given two sides of the triangle.
Build that triangle, if medians to those sides are orthogonal.
Costruire un triangolo dati gli elementi forniti in questo problema
viewtopic.php?f=47&t=115096
senza che però ci sia alcuna relazione particolare tra i segmenti dati.
Volevo proporre dei teoremi di geometria che trovo piuttosto impegnativi. Questi hanno tutti in comune il fatto che chiedono di dimostrare che certi segmenti si intersecano in dati punti.
Comincio col primo, di cui ho già una dimostrazione:
Sia ABCD un quadrilatero, E, F, G e H i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA. Siano M ed N i punti medi delle diagonali AC e BD.
Dimostrare che EG ed FH si intersecano sul punto medio di MN.
A bus ticket is considered to be lucky if the sum of the first three
digits equals to the sum of the last three (6 digits in Russian buses).
Prove that the sum of all the lucky numbers is divisible by 13.
Data una palla sferica di legno e un foglio carta, disegnare con solo l'uso di un compasso l'equatore della palla sul foglio di carta.
Capisco che il problema possa non essere del tutto chiaro, ma non saprei, in mancanza di esplicite osservazioni, come meglio precisarlo.
Dimostrare che non esistono funzioni \( f: \mathbb{Z} \to \{ 1,2,3 \}\) tali che \(|x-y | \in \{2,3,5\} \implies f(x) \neq f(y) \)
Un verme è a un’estremità di una corda di gomma che può essere allungata indefinitamente. Inizialmente la corda è lunga un chilometro. Il verme striscia lungo la corda verso l'altra estremità a un tasso costante di un centimetro al secondo. Alla fine di ogni secondo la corda è istantaneamente tesa di un altro km. Così, dopo il primo secondo, il verme ha viaggiato un centimetro e la lunghezza della corda è diventata due chilometri. Dopo il secondo secondo, il verme ha strisciato un altro ...
Una riga di 1000 numeri è scritta alla lavagna.
Scriviamo una seconda riga di numeri sotto la prima, secondo la seguente regola: sotto ogni numero x scriviamo il numero naturale che indica quante volte x si trova nella prima linea.
Poi scriviamo una terza riga di numeri sotto la seconda, seguendo lastessa regola: sotto ogni numero y scriviamo il numero naturale che indica quante volte y si trova nella seconda linea.
E così via.
a) Dimostrare che c'è una riga uguale alla precedente.
b) ...
Seven elves are sitting at a round table. Each elf has a cup. Some
cups are filled with some milk. Each elf in turn and clockwise divides
all his milk between six other cups. After the seventh has done this,
every cup was containing the initial amount of milk. How much milk did
every cup contain, if there was three litres of milk total?
PS
questo interessante problema è stato trattato, tempo fa, in un altro forum, di cui darò il riferimento al momento opportuno
Ispirato dal quiz di dan95 «Per quali n è razionale», m'è venuto in mente di fabbricare un quiz come questo:
[size=110]«Posto $$x = \sqrt[3]{54+30\sqrt3}+\sqrt[3]{54-30\sqrt3},$$
comodo calcolare con i mezzi di calcolo automatico moderni quanto fa $x$ .
Dimostrare che x vale esattamente quel valore lì! » [/size]
_______
Trovare tutti gli $n \in NN$, tali che
$$(\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})^n$$
è razionale.
Suggerimento:
mostrare che $$\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}=\sqrt{5}$$
Sia $f: [0,1] \mapsto [0,1]$ una funzione crescente, derivabile e invertibile, e $g:[0,1] \mapsto [0,1]$ l'inversa. Supponiamo che
$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}g(x)dx$$
Dimostrare che esistono $a,b \in [0,1]$ e $0<a<b<1$ tali che $f'(a)=f'(b)=1$.
Problema che mi era stato posto un po' di tempo fa al progetto Diderot (conoscete?):
Dimostrare che ogni numero naturale ha un multiplo scrivibile come una successione di \(\displaystyle 1 \) seguita da una successione di \(\displaystyle 0 \) (anche nulla).
È più facile capire con degli esempi:
Scegliendo come numero \(\displaystyle 9 \), questo ha come multiplo \(\displaystyle 111111111 \) (successione di \(\displaystyle 1 \) seguita da successione di \(\displaystyle 0 \) nulla).
Se scelgo ...
Un piccolo problema "teorico" di probabilità:
Ho un dado a 6 facce di cui 5 sono colorate di rosso e 1 è colorata in nero.
Cosa è più conveniente, scommettere sempre sull'uscita della faccia rossa o scommettere sull'uscita della faccia rossa 5 volte su 6 e su quella della nera 1 volte su 6?
E come cambiano le cose se la posta su una scommessa vinta su una faccia nera è 7 volte più grande della posta sulla faccia rossa?
Considerate di poter ripetere il gioco-scommessa un numero enorme ...
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