Diofaneta Italiana

[Pachisi]

Risolvere $y^2=x^3+16$ negli interi.

[dan952]

Quella è una curva Mordell, appena finisco con gli esami ci spendo qualche parola sopra, comunque le uniche soluzioni dovrebbero essere $(0,+-4)$.

[Sk_Anonymous]

Questa mi sembra abbordabile.
$(y-4)(y+4)=x^3$, ma $ (y-4,y+4)=(y-4,8)=1$per y dispari. Quindi $(y-4)$ e $(y+4)$ devono essere entrambi cubi. Ma la differenza tra due cubi è 7 oppure >8. Pertanto y è pari ed anche x deve esserlo. Posto $y=2u $ e $x=2v$ si ha $u^2=2v^3+4$. Da questo dovendo essere $u=2t$ si ha
$t^2 -1=4z^3$ con $v=2z$, riscrivendo la in questo modo $(t-1)(t+1)=4z^3$ che ha soluzioni solo per t dispari. Cioè $w(w+1)=z^3$ che comporta $w=z=0$ e a ritroso $x=0$ e $y=+\-4$

In che senso è italiana?

[Pachisi]

Ok
Italiana perché viene da un'olimpiade italiana.