Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Dimostrare \(\displaystyle \sum_{p=k-3}^{n-3} \binom{p}{k-3}\binom{n-p-1}{2}=\binom{n}{k}\).
Dato un segmento $AB$, costruire usando solo il compasso il punto $C$ tale che l'angolo $ Ahat(B)C $ sia retto e la distanza $BC = AB$.
Due persone (impazienti e pressapochiste) si danno appuntamento in una data località fra le ore 12
e le 13. Ciascuno sceglie in modo casuale (uniforme) ed indipendente dall’altro il momento del suo
arrivo nell’intervallo prefissato. Trascorso un certo tempo t (comune ad entrambi) di attesa
infruttuosa dall’arrivo se ne vanno. Si dica per quali valori di t la probabilità di incontrarsi è non
superiore a 0.36
Qualche mese fa ho fatto una gara delle olimpiadi problem solving. Non sono riuscito a risolvere il seguente quesito:
"9 persone devo arrivare al loro posto di lavoro, distante 60 km. Hanno a disposizione una macchina. Allora si dividono in due gruppi. Un gruppo si avvia con la macchina mentre l'altro va a piedi. A un certo punto, il guidatore della macchina fa scendere gli uomini e loro si incamminano a piedi. In seguito il guidatore ritorna in dietro finche non incontra quell'altro gruppo ...
Risolvere l'equazione $p(p+3)+q(q+2)= r(r+1)$ con $p,q,r$ numeri primi.
Dimostrare che l'unico numero primo $p$ tale che $(p+1)/2$ e $(p^2+1)/2$ sono entrambi quadrati perfetti è $p=7$.
Supponiamo che che esistano $n$ diverse lettere e $n$ buste. Un impiegato distratto, pensando che le lettere siano semplicemente circolari fra loro identiche, pone a caso una lettera in ogni busta. Qual è la probabilità che nessuna lettera corrisponda all'indirizzo indicato sulla busta in cui è stata inserita?
Sia ABC un triangolo acutangolo. Gli assi dei lati AB e AC intersecano la mediana da A in W e V rispettivamente. Chiamiamo T l’intersezione fra le rette CV e BW e U l’intersezione fra la retta AV W e la circonferenza circoscritta ad ABC.
(a) Dimostrare che $AT^2$ = BT · CT.
(b) Dimostrare che AU = BT + CT.
Trovare tutte le funzioni
[tex]f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex]
tali che
[tex]f(x+y)^2 = f(x)^2 + f(y)^2 + y f(x)[/tex]
Dei pali di altezza diversa sono piantati in modo da formare un reticolo con m file di n pali ciascuno. Si formano così m file orizzontali ed n file verticali. Indichiamo con $H_j (j=1,...,m)$ l'altezza del palo più alto sulla j-esima fila orizzontale e $h_i (i=1,..,n)$ l'altezza del palo più basso sulla i-esima fila verticale.
Dimostrare che: $min(H_1,...,H_m)\ge max(h_1,...,h_n)$
Potreste dirmi se è corretto?
Si ha che tutti i pali sulla stessa fila verticale in cui si trova $max(h_1,...,h_n)$ sono ...
Sia ABC un triangolo e sia D un punto interno ad esso. Dimostrare che esiste un altro punto E interno al triangolo ABC tale che ∠EAB = ∠DAC, ∠EBC = ∠DBA, ∠ECA = ∠DCB, che viene detto coniugato isogonale di D in ABC.
Sia infine Q il punto medio del segmento DE. Dimostrare che le proiezioni di D ed E sui lati di ABC appartengono ad una circonferenza centrata in Q.
Sia f(x) un polinomio a coefficienti interi: $f(x)=A_dX^d+...+a_1X+a_0$ dove $a_d\ne0$. Supponiamo che per ogni numero naturale n il valore f(n) sia primo.
1. Dedurre che allora il polinomio f(x) è costante.
2. Ottenere la stessa conclusione sotto l'ipotesi che ogni valore f(n) sia una potenza di un numero primo.
Risolvere, con a e b numeri primi, la seguente equazione:
[tex]a^b - b^a = ab^2 - 19[/tex]
Sia n intero, con n > 3 e siano $a_, a_2, a_3, . . . , a_n$ reali positvi.
1)Dimostrare che: 1
Data un'urna contenente venti palline numerate da 1 a 20 si estraggono cinque palline.
Qual è la probabilità che tra queste si trovino quelle numero 1,2 e 3?
E qual è la probabilità che si trovi almeno una tra quelle numerate 1,2 o 3?
A me viene 1/38 e 7/19, sono corretti?
ps qualcuno sa dove trovare le soluzioni delle prova della Scuola Superiore di Udine? perchè ho cercato in giro ma non trovo niente
Non so se è già stato postato altrove, ma non riesco a capire il seguente quesito (tratto dall'ammissione alla Normale di Pisa AA 2015/16)
Siano $I$, $J$ insiemi non vuoti con un numero finito di elementi e sia $P : I × J → [0, 1]$ una funzione. Si considerino le due quantità
$L = maxminP(i,j)$ $iinI$ $jinJ$
$L' = minmaxP(i,j)$ $iinI$ $jinJ$
(i.e. $L = maxm_i$, con $m_i = minP(i,j)$),
(i.e. $L′ = minM_j$, con ...
Sia dato un disco materiale di densità di massa non necessariamente omogenea. Dimostrare che può essere tagliato da una retta in due parti aventi la stessa massa. E' sempre possibile tagliarlo in modo tale che le due parti abbiano stessa massa e stessa area?
Fonte:
Scuola superiore di Udine prova di matematica 2011
grazie in anticipo a chi mi aiuterà
Un insieme non vuoto A si dice n-buono se A ⊆ {1, 2, . . . , n} e |A| ≤ min A.
Sia $A_n$ il numero di insiemi n-buoni. Dimostrare che per ogni n ≥ 1 vale la formula $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n+1$
Consideriamo la successione definita da $x_1$=1 e $x_(n+1)=1+ \prod_{k=1}^n x_k$
Dimostrare che $\sum_{k=1}^n 1/x_k<1$
Ciao a tutti!
Ho trovato questo esercizio in rete e ho pensato di proporvelo
"Si vuole andare da Pisa a Firenze (che distano L in linea retta), senza biglietto e senza prendere multe.
Assumiamo che si possa scendere dal treno e prenderne un altro(che va nella stessa direzione) in ogni momento senza perdere tempo nel cambio, e assumiamo che la probabilità di essere trovati dal controllore sia proporzionale alla distanza percorsa stando sullo stesso treno.
Trovare la migliore strategia e ...
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