IMO problem 2001 (Number Theory)

[dan952]

Siano $a>b>c>d$ numeri naturali, supponiamo che
$$ac+bd=(a+b-c+d)(b+c-a+d)$$
dimostrare che $ab+cd$ non è primo.

Suggerimento:

Centrano qualcosa i quadrilateri ciclici.

[Pachisi]

E` da ieri che ci provo, ma mi blocco ad un punto. Un piccolo hint?

Usando il tuo hint riesco ad arriavare a $(ac+bd)(a^2-ac+c^2)=(ab+cd)(ad+bc)$, però poi mi blocco... La procedura completa la posto quando (se) lo risolvo tuto.

[dan952]

Suggerimento 2:

$ab+cd>ac+bd$, quindi...

[Pachisi]

Forse

Sarà anche $ab+cd>ac+bd>ad+bc$. Supponiamo che $ab+cd$ sia primo. Essendo $ab+cd>ac+bd$, segue che $ac+bd$ non può dividere $ab+cd$. Allora, $ac+bd$ deve dividere $ad+bc$, che però è impossibile essendo $ac+bd>ad+bc$. Allora, $ab+cd$ non può essere primo.

[dan952]

Bravo!

[Pachisi]

Ecco la soluzione completa. Grazie per i suggerimenti

Visto che è $a>b>c>d>0$, possiamo considerare un quadrilatero $ABCD$ di lati $a,b,c,d$. Più precisamente, consideriamo il quadrilatero $ABCD$ con $AB=a$, $BC=d$, $CD=b$ e $DA=c$.
Da $ac+bd=(a+b-c+d)(b+c-a+d)$ segue che $a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2$. Considerando il quadrilatero sopra, per il teorema di Carnot abbiamo $BD^2=a^2+c^2-2cacos\hat{DAB}=b^2+d^2-2bdcos\hat{BCD}$. Usando queste due condizioni troviamo $\hat{DAB}=pi/3$ e $\hat{BCD}=2pi/3$. Allora, $ABCD$ è ciclico. In modo simile, troviamo $AC^2=a^2+d^2-2adcos\hat{ABC}=b^2+c^2-2cbcos\hat{CDA}=b^2+c^2+2cbcos\hat{ABC}$ (visto che è ciclico angoli opposti sono supplementari). Allora, risolvendo per $cos\hat{ABC}$ e sostituendo, troviamo $AC^2=a^2+d^2-ad(a^2+d^2-b^2-c^2)/(ad+bc)=(ab+cd)(ac+bd)/(ad+bc)$. Quindi, per Tolomeo troviamo $(ac+bd)(a^2-ac+c^2)=(ab+cd)(ad+bc)$, e concludiamo come nel post precedente.