Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadrato perfetto[nota]del problema ho trovato una soluzione che posterò a richiesta o trascorso qualche tempo da adesso[/nota].
PS
il problema, secondo me, è molto più facilmente abbordabaile del N4 dello stesso anno
Per i tre vertici di un triangolo si conducono tre rette parallele e poi altre tre rette anch’esse fra loro parallele. I punti di intersezione di queste sei rette definiscono dei parallelogrammi. Di questi, tre hanno come diagonale un lato del triangolo. Provare che le seconde diagonali di questi parallelogrammi passano per un punto. (Si studi preliminarmente il caso in cui le terne di rette sono fra loro perpendicolari).
Provare la disuguaglianza $|x^alpha-y^alpha|<=|x-y|^alpha$ per ogni $alpha$ razionale compreso fra $0$ e $1$, per ogni $x, y >=0$.
PS
ho trovato una soluzione per $alpha in \mathbb{R}$. Mi piacerebbe vederne anche una diretta per $alpha =m/n$
Dati $n$ punti nel piano, a tre a tre non allineati, dimostrare che è possibile formare almeno \( \displaystyle \binom{n-3}{2} \) quadrilateri convessi.
Siano $m$ e $n$ interi positivi tali che $lcm(m,n)+gcd(m,n)=m+n$. Dimostrare che $n$ divide $m$ o viceversa.
Siano $a,b,c$ numeri reali distinti non nulli. Se le equazioni $ax^3+bx+c=0$, $bx^3+cx+a=0,$ e $cx^3+ax+b=0$ hanno una radice comune, provare che almeno una di queste ha tre radici reali.
Salve a tutti!
Sono un nuovo membro del forum, spero quindi non sbagliare qualcosa
Nel piano xOy si consideri il luogo S rappresentato dall'equazione \(\displaystyle x^{2}+ky^{2}=\left(1+k\right)y+1 \) dove k è un parametro reale. Dire quali delle seguenti affermazioni risulta vera:
A) S non è una circonferenza per nessun valore di k
B) S è una parabola per ogni valore di k
C) S è un'iperbole per ogni valore di k
D) se S non è una parabola, allora è una circonferenza
E) esistono valori di k ...
Si dice che un punto P esterno a una circonferenza C “vede” la circonferenza sotto un angolo 0, costruire il luogo dei punti del piano che vedono C sotto l’angolo $alpha$;
2) date due circonferenze C, C' e raggi R, R' esterne l’una all’altra, di centri O, O' rispettivamente, costruire il luogo L dei punti ...
Si consideri un angolo convesso delimitato dalle due semirette r e s aventi la stessa origine; siano A e G due punti interni ad esso. E' possibile determinare un punto B su r e un punto C su s in modo che il triangolo ABC abbia baricentro in G?
Siano dati una circonferenza e due punti $A$ e $B$ esterni ad essa. Per ogni retta $l$ passante per $A$, siano $M$ ed $N$ le sue intersezioni con la circonferenza data. Dimostrare che tutte le circonferenze circoscritte al triangolo $BMN$ passano per uno stesso punto (diverso da $B$).
Dimostrare che
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^4}dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx$$
Ciao a tutti , leggendo i titoli dei vostri post mi sento un pò in imbarazzo a postare il mio , ma voglio comunque esporvi il mio dubbio perché sono convinto possiate aiutarmi. Lavoro da poco in una palestra . Stamattina mi si è posto questo problema .
Diamo la possibilità ai clienti di passare da una tipologia di abbonamento ad un'altra pagando un'integrazione . Questo risulta facile quando l'abbonamento non è stato sfruttato perché basta fare la differenza dei due prezzi interi . Il problema ...
Siano dati una circonferenza $gamma$ e un punto $P$ distinto dal centro. Sia $PAB$ un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in $P$ e i rimanenti due su $gamma$, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici $A$ e $B$ passano per il centro di $gamma$.
(Non si richiede la costruzione geometrica, né la determinazione degli elementi del triangolo).
Sia dato un segmento AB nel piano. Si consideri il luogo L dei punti del piano che vedono il segmento AB sotto un angolo di 60. Si scelga P in L e si scelgano due punti C e D rispettivamente interni ai lati BP e AP del triangolo ABP, in modo che AD = BC. Si costruisca il triangolo equilatero CDQ di base CD, esterno al quadrilatero ABCD. Si studi, al variare di P in L e di C, D, secondo le condizioni indicate sopra, il luogo dei punti del piano descritto dal punto Q.
Ciao!
Non riesco a comprendere il seguente problema
L'espressione \(\displaystyle \frac{4^{x}2^{-y}-4^{-y}2^{x}}{2^{x+y}-1} \) è uguale a:
A) \(\displaystyle 2^{x+y} \)
B) 0
C) \(\displaystyle 2^{x-2y} \)
D) \(\displaystyle 2^{x}+2^{y} \)
E) \(\displaystyle log_{2}{x+y} \)
La risposta corretta è la C, perchè?
Grazie
I polinomi $P$, $Q$, $R$ con coefficienti reali, di cui uno di grado $2$ e due di grado $3$, soddisfano la seguente uguaglianza $P^2+Q^2=R^2$. Prova che uno dei polinomi di grado $3$ ha tre radici reali.
Siano $p, q, r$, tre numeri reali tali che il polinomio
$A(x) = x^3+ px^2+qx +r$
abbia tre radici reali.
Determinare tre numeri reali $a, b, c$, espressi in funzione di $p, q, r$ soltanto, in modo che il polinomio
$B(x) = x^3+ax^2+bx +c$
abbia per radici i quadrati delle radici di $A$.
Si considerino i numeri naturali 1, 11, 111, 1111, . . . e, in generale, si in-dichi con α_n il numero che si ottiene giustapponendo n cifre uguali a 1
(a) Si provi che se α_n è un numero primo allora n è primo
b) Si provi che, assegnato comunque un numero naturale r, non divisibile né per 2 né per 5, si può trovare un α_n che è multiplo di r.
c) Si scriva un algoritmo o un programma per calcolatore (in un qualunque linguaggio di programmazione) che, a partire da r, calcoli il minimo n per cui ...
Provare che per qualsiasi numero intero esiste una potenza del 10 congrua a 1 modulo il numero dato.
In formule
$\forall n \in \NN$ con $(n, 10)=1$, $\exists k in \NN : 10^k \equiv 1 \mod n$
PS
E' un risultato che ho dovuto congetturare e provare per risolvere un problema per l'esame di ammissione alla SNS di qualche anno fa (1988-89, mi pare), che penso di proporre in questa sezione del forum in seguito.
Probabilmente è diretta conseguenza di qualche teorema, ma per me che non sono esperto di aritmetica ...
Dato un triangolo nel piano euclideo si indichi con O il centro della circonferenza in esso inscritta e con G la circonferenza passante per O e per due qualunque dei vertici del triangolo. Provare che il centro di G si trova sulla circonferenza circoscritta al triangolo.
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