Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Si può dividere un trapezio in due trapezi di area uguale in infiniti modi tracciando un segmento-corda opportuno tra due punti del suo perimetro; in particolare congiungendo con un segmento i punti medi delle basi (ottenendo così due trapezi con la stessa altezza e con le basi lunghe metà delle basi del dato trapezio) o tracciando una corda parallela alle basi a distanza opportuna da una e dall'altra.
Metto un quiz di geometria che si riferisce a quest'ultimo modo di dividere il trapezio in ...
Buongiorno a tutti e scusate il disturbo per un problemino banale.
Allora: gira sul web uno di quei classici problemi stupidi che poi fanno divertire più per le risposte che per il problema in se.
Ultimamente stanno postando questo:
Ora il problema è banale ed il risultato si trova facilmente che è 14.
Un mio amico (tra l'altro laureato in matematica) ha inserito l'immagine su fb però non mettendo la prima riga (in cui c'è la somma delle tre mele.
Lui afferma che il risultato è 14 (come del ...
Trovare tutti gli x, y, z, w interi non negativi tali che $x^2+y^2=3(z^2+w^2)$
Dimostrare che le uniche funzioni $f: ZZ -> ZZ$
che soddisfano $f(m-n+f(n))=f(m)+f(n)$ per ogni $m,n in ZZ$
sono $f(n)=2n$ e $f(n)=0$
Sia ABC un triangolo. Sia ΓA il luogo dei punti X tali che BX/CX =BA/CA.
• Mostrare che ΓA `e una circonferenza, che chiamiamo circonferenza di Apollonio relativa ad A.
Siano ora D e D′ rispettivamente i piedi delle bisettrici interna ed esterna relative ad A.
• Mostrare che A, D, D′ appartengono a ΓA.
• Mostrare inoltre che ΓA `e la circonferenza di diametro DD′.
Definiamo ora analogamente ΓB e ΓC, le circonferenza di Apollonio relative a B e C.
• Mostrare che ΓA, ΓB e ΓC passano tutte per due ...
...senza calcoli!
Vincolo: non c'è bisogno di svolgere alcun calcolo!
Problema: considerato un cubo di lato \(\displaystyle l>0\): determinare il percorso di minima distanza (sul cubo) tra:
[list=a]
[*:e6r77tu9]due vertici simmetrici, rispetto al centro del cubo;[/*:m:e6r77tu9]
[*:e6r77tu9]due punti simmetrici, rispetto al centro del cubo.[/*:m:e6r77tu9][/list:o:e6r77tu9]
Resto a disposizione di eventuali chiarimenti.
Ciao. Ho trovato questo problema alle olimpiadi di matematica ma non ho neanche capito il testo del problema
Siano $a_\1,a_\2,....a_\n...$una sequenza di interi positivi tali che $a_\(i+1)$ è il numero di divisori positivi di $a_\i$ per ogni $ i\geq 1$. Supponiamo che $a_\2\ne 2$. Dimostrare che esiste un indice $m$ tale che $a_\m$ sia un quadrato perfetto. Non so proprio come fare. Grazie per eventuali aiuti.
...in attesa che trovi un titolo migliore, ecco la traccia: dimostrare che:
\[
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq2},x\in\mathbb{R},\,|\underbrace{\sin(\sin(\dots\sin(\sin x)\dots))}_{n-\text{volte}}|\leq|\underbrace{\sin(\sin(\dots\sin(\sin1)\dots))}_{(n-1)-\text{volte}}|.
\]
Resto in tema teoria dei numeri:
Trovare le soluzioni intere all'equazione $n^4+n^3+n^2+n+1=k^2$
Siano a, b, c le radici del polinomio $x^3−17x−19$. Quanto vale $a^3+b^3+c^3$ ?
Diciamo che una successione $a_n$ , con n ≥ 0 intero, è polinomiale se esiste un polinomio p(x) tale che $a_n$ = p(n) per ogni n ≥ 0 intero. Dire (dimostrando le affermazioni) se le seguenti successioni sono polinomiali:
1. $a_n=2^n$ ;
2. $a_n=[(n^3+n+1)/3]$
Consideriamo X = {1, 2, 3, . . . , 2n − 2, 2n − 1, 2n}. Sia A un sottoinsieme di X con n + 1 elementi.
1. Dimostrare che in A vi sono almeno due numeri coprimi.
2. Dimostrare che in A vi sono almeno due numeri tali che uno divide l’altro.
Dimostrare che ogni intero positivo è rappresentabile come somma finita di numeri di Fibonacci distinti, in modo che tale somma non contenga mai due numeri di Fibonacci consecutivi (cioè la somma non può contenere due Fibonacci Fn e Fm tali che |m − n| ≤ 1). Mostrare inoltre che tale scrittura è unica.
Non credo che la dimostrazione sia troppo difficile... Forse esiste già in rete da qualche parte, ma prima di scervellarmici su condivido con voi:
dimostrare che dato un triangolo qualsiasi $ABC$ i 3 triangoli ottenuti congiungendo il baricentro con ognuno dei vertici hanno la stessa area
http://www.sns.it/sites/default/files/d ... 015-16.pdf
qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi i primi due esercizi? Sono argomenti che ho studiato ma non ho mai visto queste cose così
Trovare le soluzioni intere dell’equazione $n^5+n^4+n^3+n^2+n+1=k^2$
Gianni ha deciso che tira un dado a $6$ facce e vince quando ottiene $5$ o $6$; ma se ottiene $1$ può ritirare il dado e ripetere il procedimento. Qual è la probabilità di vittoria di Gianni?
120. Proposed by John A. Tierney, United States Naval Academy.
Given a point P inside an arbitrary angle, give a Euclidean construction of the line through P
that determines with the sides of the angle a triangle
(a) of minimum area;
(b) of minimum perimeter.
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” pr.120
PS
sono due problemi in uno: direi discretamente impegnativo il primo[parte (a)]; molto impegnativo il secondo (anche se lo ho risolto (per primo e)in meno tempo rispetto ...
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