Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Vorrei proporre il seguente quesito: Alberto e Barbara possiedono rispettivamente a e b euro di capitale.
Scommettono un euro su un lancio di una moneta: la moneta può dare testa o croce, Alberto prova ad indovinare il risultato di ogni lancio, se perde dà un euro a Barbara e se vince prende un euro dal capitale di Barbara.
Supponiamo che il gioco finisca quando uno dei due capitali sia ridotto a 0. Analizzando la situazione all'inizio (prima del primo lancio), qual'è la probabilità di ...
Date tre rette parallele distinte, esiste sempre un triangolo equilatero tale che ciascun vertice sia su una delle suddette rette e vertici distinti siano su rette distinte?
Dimostrare che:
Preso un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due n-agoni regolari costruiti sui cateti è uguale all'area dell'n-agono costruito sull'ipotenusa per ogni valore di n maggiore di 2.
per costruito intendo che il lato del poligono sia congruente al cateto o all'ipotenusa
l'n-agono è un poligono di n lati
Si consideri una lamina quadrata pesante di lato L e vertici A,B,C e D. I due triangoli T1=ABC e T2=ACD nei quali viene diviso il quadrato dalla diagonale AC hanno densità superficiale di massa costante nota e pari a d1 e d2 rispettivamente con [tex]d_2=2d_1[/tex]. Si calcoli la posizione del baricentro della lamina.
Scegliendo i vertici in senso antiorario a partire dal basso a sinistra, prendendo come riferimento il centro del quadrato e ponendo gli assi paralleli ai lati con verso positivo ...
Siano $p$ e $q$ coprimi. Allora ogni fattore dispari di $p^2+3q^2$ è anch'esso della forma $c^2+3d^2$.
Qualcuno può aiutarmi in questo esercizio?
Avendo a disposizione due dadi a sei facce, si lanciano e si sommano i numeri delle due facce che escono, tenendo conto dei vari valori possibili e della loro frequenza. Si deve trovare il modo di ottenere gli stessi valori con le stesse frequenze utilizzando però un dado a nove facce e uno a quattro facce, e dovendo disegnare almeno un puntino su ogni faccia. Si chiedono tutte le soluzioni possibili.
Ho costruito la tabella delle frequenze per la ...
Ciao,
oggi mi è venuto in mente di proporvi questo esercizio che mi sembra elementare e simpatico
Sia data la ricorrenza:
$x_{i+1}=\alpha*x_{i}+\beta$
$x_0=\gamma$
Trovare una formula chiusa per $x_n$ in funzione di $\alpha,\beta,\gamma$,. Interpretare geometricamente il risultato (in particolare il limite $n\rightarrow \infty$).
Thomas
Ciao,
vi volevo proporre questo altro problema. Sero vi piaccia!
Sia $p$ primo. Trovare tutte le soluzioni negli interi dell'equazione:
$px^2 + y^2 = z^2$
Salve!
Pensavo che, di fianco a problemi irrisolti per i quali ci vuole la medaglia fields solo per capire qualcosa del problema (es. i problemi del millennio), ce ne sono molti altri alla portata di conoscenze molto più elementari.
Non che siano meno belli o interessanti; magari sono considerati troppo elementari per chiederseli oppure non hanno risvolti pratici o semplicemente non sono pubblicizzati.
Ne elenco qualcuno. Vado a memoria perciò correggetemi o ditemi se ho scritto ...
Un percorso è chiamato normale se non passa per lo stesso punto due volte. Sia $f(n)$ il numero di percorsi normali di lunghezza $n$ che cominciano all'origine. Dimostrare che $2^n<f(n) \le 4 \cdot 3^(n-1)$.
Buonasera,
vi propongo questo problema tratto dalla prova dell INdAM dello scorso anno: https://www.altamatematica.it/sites/def ... m15-16.pdf (problema 3)
Il tetraedro ABCD ha tutti i sei spigoli tangenti a una stessa sfera.
Sappiamo che AB = 323, BC = 406, CA = 385, DA = 524. Qual e la misura di ` BD?
A. 528
B. 487
C. 545
D. 533
E. 503
EDIT: rimosso l'indicazione della risposta, magari qualcuno vuole provare a risolverlo da solo
Ho trovato questo problema che è carino
data una tabella quadrata $3*3$. Si immagini di essere il Re(scacchisticamente parlando) e di muovere dalla casella centrale: quanti sono i possibili percorsi lunghi $5$ passi che puoi effettuare?
Data una tabella $4xx3$, si consideri un cavallo(degli scacchi, che muove a L) posizionato come in figura, che deve compiere sei mosse. Quanti sono i possibili percorsi lunghi sei mosse che il cavallo può effettuare?
NB: due mosse che partono da una stessa casella e arrivano sulla stessa casella, passando per caselle intermedie diverse, sono considerate la stessa mossa.
[size=50]l'opera d'arte, disegnata da me, è soggetta a copyright aggressivo [/size]
Si hanno $m$ lettere $A$ e $n$ lettere $B$, con $m \geq n$. In tutto si possono formare $\frac{(m+n)!}{m!n!}$ parole. Quante parole si possono formare in modo che, contando le lettere da sinistra a destra, il conteggio delle $A$ non sia mai minore del conteggio delle $B$?
e.g. Con $3$ lettere $A$ e $3$ lettere $B$, la parola $A B A A B B $ è una ...
In un cerchio di raggio R, fissato un diametro d ed il diametro ad esso ortogonale d', si inscrivano due rettangoli A e B con i lati paralleli a d e a d', e tali che la base di A ha la stessa lunghezza dell'altezza di B, mentre l'altezza di A ha la stessa lunghezza della base di B (d e d' sono assi di simmetria per A e B).
Trovare il rapporto tra l'altezza e la base per cui l'area della differenza simmetrica tra A e B sia massima.
Si consideri la somma $S$ dei primi $n+1$ termini della serie geometrica di primo termine $a$ e ragione $r$: $S=\sum_{k=0}^{n}ar^k$. Moltiplicando $S$ per $r$ e sottraendo $S$ a $rS$, si ottiene con elementari manipolazioni algebriche $S=a\frac{1-r^(n+1)}{1-r}$.
Ora, supponiamo che tale sommatoria sia infinita, supponiamo che ci sia scritto $\infty$ invece di $n$.
Applicando ...
Salve! Mi è capitato di trovare un esercizio che richiede una dimostrazione, ma non so proprio dove mettere le mani. Ecco il testo:
" Dimostrare che $ e^(ipi ) = - 1 $ "
Ci ho riflettutto molto, tuttavia niente sembra avvicinarsi a una soluzione.
Grazie
Sia $T_n=(sqrt(a+1)+sqrt(a))^n$, con $n$ e $a$ interi positivi. Dimostrare che $T_n$ si può scrivere come somma delle radice quadrate di due interi consecutivi, per ogni $n$.
Il problema è molto semplice di per se, però mi interessa vedere altre risoluzioni
data una circonferenza $gamma$ e un punto $P$ fissato della circonferenza, considera tutte le corde della circonferenza che hanno un estremo in $P$. Qual è il luogo descritto dai punti medi delle corde?
Fa' parte di una prova canadese, o di un'olimpiade canadese se non sbaglio.
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