$F_(333)$

[axpgn]

Se $F_n$ è l'ennesimo numero di Fibonacci, mostrare che $F_(333)$ è divisibile per $73$.

Cordialmente, Alex

[consec]

Propongo una soluzione "didattica", che fa uso di due proprietà (di cui magari qualcuno vuole divertirsi ad aggiungere una dimostrazione)

In generale, dati due numeri interi $m$ e $n$ tali che $m|n$, allora $F_m | F_n$. Essendo $333=37*3^2$, allora $F_37|F_333$.
Ora, dato un numero $p$ tale che $2p-1$ risulta pure esso primo, allora $2p-1|F_p$, quindi $73|F_37$ e, per quanto detto prima, anche $F_333$ (o più in generale qualsiasi $F_37k$)

[axpgn]

Ma sei sicuro della seconda proprietà?

Non mi pare che funzioni sempre, per esempio $p=2, p=3, p=31$ ...

[consec]

"axpgn":Ma sei sicuro della seconda proprietà?

Non mi pare che funzioni sempre, per esempio $p=2, p=3, p=31$ ...

Sì ho dimenticato di specificare che 37 è $2mod5$.
Comunque è scritto su wikipedia.

Se $p$ è un numero primo maggiore di $7$ e $p-=2mod5$ oppure $p-=4mod5$ e $2p-1$ è un numero primo, allora $2p-1|F_p$ quindi $F_p$ è composto.

Alternativamente come lo dimostreresti?

[axpgn]

Ah, beh ... hai dimenticato giusto due virgole ...

Inizialmente pensavo di chiedere solo la divisibilità per due e diciassette, in modo da usare solo la prima proprietà che hai scritto, ma poi mi è sembrato troppo facile ...
Così invece sarebbe stato necessario fare un paio di conti ... fattibili a mano però ...

Cordialmente, Alex

P.S.: la prossima volta metti sotto spoiler perché c'è sempre qualcuno che ci vuol provare da solo ...