Esistenza di un quadrato perfetto in una successione

[Vincent46]

Sia data una successione $(a_i)$ in cui $a_1$ è un naturale positivo, e $a_i$ è uguale al numero di divisori positivi di $a_{i-1}$ per $i \in \{2, 3, ...\}$. Supponiamo che $a_2 \ne 2$.
Dimostrare che esiste un naturale $m$ tale che $a_m$ è un quadrato perfetto.

[dan952]

Consideriamo la funzione $d:NN^{\ast} \mapsto NN$ definita come $d(n):=#{k \in NN\ t.c.\ k|n}$.
Sia $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_m^{\alpha_m}$ la fattorizzazione in primi di $n$, è noto che:
1) $d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1) \cdots (\alpha_m+1)$
2) $d(n)1$.
3) $d(n)$ è dispari $\Leftrightarrow$ $n$ è un quadrato perfetto
La successione è quindi definita in modo iterativo come $a_i=d(a_{i-1})$ e da 2) segue che $a_n$ è decrescente e dunque dopo un numero finito $P$ di passi risulta $d(a_P)=2$ e dunque $a_{P-1}$ o è primo dispari, e dalla 3) abbiamo concluso, o è uguale a $2$, se è $2$ allora stesso discorso fino ad arrivare a $a_2 !=2$ e dunque $a_2$ è necessariamente primo dispari.

[Vincent46]

Ok