Ricorrenza lineare da risolvere esplicitamente

[Thomas16]

Ciao,

oggi mi è venuto in mente di proporvi questo esercizio che mi sembra elementare e simpatico

Sia data la ricorrenza:

$x_{i+1}=\alpha*x_{i}+\beta$

$x_0=\gamma$

Trovare una formula chiusa per $x_n$ in funzione di $\alpha,\beta,\gamma$,. Interpretare geometricamente il risultato (in particolare il limite $n\rightarrow \infty$).


Thomas

[.Ruben.17]

La soluzione è:
$x_{n}=\alpha^n * \gamma + (\alpha^n -1)/(\alpha -1)* \beta $

Dimostrazione per induzione:
Vale per $x_{1}$

Vale per un dato $n$

$x_{n+1} = \alpha x_{n}+ \beta = \alpha[\alpha^n * \gamma + (\alpha^n -1)/(\alpha -1)* \beta] + \beta = \alpha^{n+1} \gamma + ( (\alpha^{n+1} - k)/(k+1) + 1) \beta = \alpha^{n+1} * \gamma + (\alpha^{n+1} -1)/(\alpha -1)* \beta $

Quindi è vera per (n+1)

Geometricamente non so, ci penso e magari lo posto più tardi

[consec]

Geometricamente dovrebbero essere equazioni del fascio di rette centrato in $P(-\beta/(\alpha-1),-\beta/(\alpha-1))$ valutato in $\gamma$, con coefficiente angolare crescente che va da $\alpha$ a $+infty$.
Il limite per $n$ dovrebbe essere la retta di equazione $x=-\beta/(\alpha-1)$

EDIT: ho corretto la notazione

[Thomas16]

@Ruben: Perfetto quella è la soluzione correct !
Visto che la dimostrazione che riporti è per induzione potresti accennare come l'hai trovata ?

[Thomas16]

@consec: il limite è corretto (se esiste)!
Giusto come spunti di rilfessione:
1) come mai non dipende da $\gamma$ ?
2) il limite esiste per ogni valore dei parametri ? NB: se tutti i parametri sono positive la successione diverge.

[consec]

"Thomas":

@consec: il limite è corretto (se esiste)!
Giusto come spunti di rilfessione:
1) come mai non dipende da $\gamma$ ?
2) il limite esiste per ogni valore dei parametri ? NB: se tutti i parametri sono positive la successione diverge.

Se l'interpretazione grafica che ho dato è corretta, allora il limite non dipende da $\gamma$ perché per $lim_{\n \to \infty}$ la retta è parallela all'asse y quindi assume lo stesso valore in qualunque punto (e di conseguenza anche in $x_0=\gamma$). Il limite non esiste se $\alpha=1$, e in quel caso il fascio di rette è parallelo.

[anto_zoolander]

mmm

${(x_(n+1)=alphax_n+beta),(x_0=gamma):}$

$x_(n+1)=alpha(alphax_(n-1)+beta)+beta=alpha(alpha(alphax_(n-2)+beta)+beta)+beta)$



$x_(n+1)=alpha(alpha(alpha(...(alphax_0+beta)...)+beta)+beta)+beta$

ci sono esattamente $n+1$ volte $alpha$ e $n+1$ volte $beta$ poiché ogni passo si infilano dentro una sola coppia di $(alpha,beta)$ naturalmente dobbiamo arrivare da $x_n$ a $x_(n-n)$ ovvero $(n+1)$ volte

$x_(n+1)=alpha^(n+1)gamma+beta(1+alpha+alpha^2+...+alpha^n)=alpha^(n+1)gamma+beta(alpha^(n+1)-1)/(alpha-1)$

naturalmente otteniamo una serie geometrica in $alpha$ per questo motivo, considerando $x_3$

$x_3=alpha(alpha(alphax_0+beta)+beta)+beta$

$x_3=alpha(alpha^2x_0+alphabeta+beta)+beta$

$x_3=alpha^3x_0+alpha^2beta+alphabeta+beta$

$x_3=alpha^3x_0+beta(1+alpha+alpha^2)=alpha^3gamma+beta(alpha^3-1)/(alpha-1)$

induzione

$x_(n+1)=alpha^(n+1)gamma+beta(alpha^(n+1)-1)/(alpha-1)$

passo base: $x_0=alpha^0gamma+beta(alpha^0-1)/(alpha-1)=gamma$

Io so che $x_(n+2)=alphax_(n+1)+beta$ dalla formula ricorsiva e che $x_(n+1)$ è vera per qualche $ninNN$

dunque $x_(n+2)=alpha[alpha^(n+1)gamma+beta(alpha^(n+1)-1)/(alpha-1)]+beta$

$x_(n+2)=alpha^(n+2)gamma+beta((alpha^(n+2)-alpha)/(alpha-1)+1)$

$x_(n+2)=alpha^(n+2)gamma+beta(alpha^(n+2)-1)/(alpha-1)$

dunque è vera per $n+1$ dunque è vera per ogni $ninNN$, Ora passiamo al limite:

è chiaro che il il tutto dipenderà dagli $alpha^(n+1)$ presenti, poiché può variare solo quello.
essendo la successione esponenziale ad esponente naturale una successione strettamente monotòna crescente per argomenti $k>1$,strettamente decrescenti per argomenti $|k|<1$ e indetermindeterminata per $k<-1$ possiamo dire che la successione è convergente se e solo se $|alpha|<1$ e in particolare

$lim_(n->+infty)[alpha^(n+2)gamma+beta(alpha^(n+2)-1)/(alpha-1)]=beta/(1-alpha)$

geometricamente non so. Può sembrare una retta dall'espressione, ma graficando i punti con $|alpha|<1$ viene una curva esponenziale appunto. Ci penso domani a mente fresca

[Thomas16]

@anto_zoolander: Perfetto, grazie per avere inserito esplicitamente come sei arrivato alla soluzione!

Un altro modo per arrivare al medesimo risultato e' fare un cambio di variabile e considerare la successione $y_n=x_n-\delta$ . Per una particolare scelta di $\delta$ la succssione diventa molto semplice, del tipo di quella originale ma con $\beta=0$, che e' semplice da risolvere.

Spero il problema vi sia piaciuto!

Per l'interpretazione geometrica si puo provare a plottare nel piano cartesiano la retta $y=x$ e la retta $y=\alpha*x+\beta$. Come si visualizza nel piano cartesiano rispetto a queste rette la successione? Non e' una gran cosa eh il grosso era trovare la formula esplicita ...

[anto_zoolander]

si molto carino

Rappresenta il luogo geometrico delle loro intersezioni allora, così a occhio.

[Erasmus_First]

"Thomas":@Ruben: Perfetto quella è la soluzione correct !
Visto che la dimostrazione che riporti è per induzione potresti accennare come l'hai trovata ?

Una volta supposta la soluzione (cioè: uno mi chiede: «Dimostrami che la soluzione è qiesta qua!»), la verifica per induzione è comoda. Ma quasi sempre il metodo di induzione non serve per trovare costruttivamente la soluzione di un problema (ossia, uno mi chiede/dice: «Qual è la soluzione? Dimmela e spiegami come si fa a trovarla!»).

Anzitutto si osservi che la soluzione di anto_zoolander e Ruben
$X(n) = α^nγ + (α^n -1)/(α -1)β$
separando la pare costante dalla parte dipendente da n assume il seguente tipo di espressione:
$X(n) = –β/(α -1) + [γ–β/(α -1)]·α^n$.

E' questo un caso di "sequenza linearmente dipendente di ordine 2".
In altre parole, noti due elementi consecutivi della sequenza (nel nostro caso X(0) =γ e X(1) = α·γ + β ), si sa che la legge di ricorrenza è del tipo:
X(n+2) = A ·X(n+1) + B·X(n)
per ogni n intero (anche negativo) con A e B costanti note (non nulle) .

In effetti, dalle condizioni date da Thomas si trova:
Per ogni n intero
X(n+1) = α·X(n) + β;
X(n+2) = α·X(n+1) + β.
Allora, sottraendo membro a membro:
X(n+2) – X(n+1) = α·X(n+1) - α·X(n) ––> X(n+2) = (α+1)·X(n+1) – α·X(n) (*)
(ossia: le costanti A e B sono ora rispettivamente A = α+1; B = – α).
All'equazione di ricorrenza (*) si associa il "polinolio caratteristico" (trinomio nel nostri caso):
P(x) = x^2 – (α+1)·x +α (**)
i cui zeri sono x1 = 1 e x2 = α.
Allora la soluzione generale dell'equazione di ricorrenza (*) è del tipo:
X(n) = M·(x1)^n + N·(x2)^n = M·1^n + N·α^n = M + N·α^n
dove M ed N sono costanti da determinare conoscendo due termini consecutivi della sequenza.
Nel nostro caso:
Per n = 0: M +N = γ;
per n = 1: M + Nα = αγ + β
Da cui si determinano M ed N
$M = -β/(α-1)$; $N= γ - β/(α-1)$.
Ed infine la sequenza
$X(n) = M + Nα^n = -β/(α-1) +[γ - β/(α-1)]·α^n$.
–––––––––––

Tempo fa ho scritto una pagina apposta per Matematicamente sulle "seguenze linearmente dipendenti". ossia sul come passare dalla legge di ricorrenza a quella intensiva dove si calcola il termine X(n) come funzione esplicita di n.

Si trova cercandola qua –––> viewtopic.php?f=40&t=145219#p915204
come immagine PNG il cui indirizzo URL è
––> https://s15.postimg.org/kvguc8hkb/Seq_l ... dipend.png

Ciao ciao
–––

[Thomas16]

Grazie mille Erasmus_First per l'approfondimento!

Thomas