3 esercizi su funzioni

[RuCoLa1]

Potreste aiutarmi con questi tre esercizi?

$ f (x) = sen^6(x) + cos^6(x) +k(sen^4(x) + cos^4(x))$
Determinare eventuali valori di k per cui f é costante e quelli per cui f (x)=0 ammette soluzioni.

Trovare gli a reali per cui la seguente equazione ha almeno una soluzione:
$1998^(|sen (x)|) = (|sen (ax)|)^1998 $

Trovare le soluzioni dell'equazione:
$x[x[x]] = 84 $

[kobeilprofeta]

a)
$f'(x)=6sin^5(x)+6cos^5(x)+4ksin^3(x)+4kcos^3(x)$
Devi trovare il k che l'annulla $AA x$

[Vincent46]

Ti do dei suggerimenti:

$1.$ usa le identità trigonometriche per scrivere l'espressione in funzione solo del seno.
$2.$ Il membro a sinistra è compreso fra 1 e 1998 (estremi inclusi); il membro a destra è compreso fra 0 e 1 (estremi inclusi).
$3.$ $x < 4$ non va bene, e neanche $x \geq 5$. Quindi dev'essere $[x]=4$.

[RuCoLa1]

"Vincent46":Ti do dei suggerimenti:

$3.$ $x < 4$ non va bene, e neanche $x \geq 5$. Quindi dev'essere $[x]=4$.

Cosa indicano le parentesi quadrate?

[axpgn]

La funzione "parte intera" ovvero l'intero più grande non maggiore di $x$

[kobeilprofeta]

Esempi
[4.9]=4
[-4.9]=-5

[RuCoLa1]

Quindi sarebbe il numero intero che più si avvicina a 84?

[RuCoLa1]

Ah okay

[axpgn]

Io però preferisco usare questo simbolo $\lfloor x \rfloor$ per evitare ambiguità con le parentesi quadre ... (per inciso, mi sono abituato a chiamare quella funzione "floor" all'americana perché esiste anche l'analoga da sopra, la funzione "ceiling" il cui simbolo è $\lceiling x \rceiling$) ...

[axpgn]

"RuCoLa":Quindi sarebbe il numero intero che più si avvicina a 84?

No, che c'entra?

L'equazione è questa $ x\ lfloor x \lfloor x \rfloor \rfloor = 84$ e tu devi trovare la $x$ che la soddisfa ... che non è $84$ ...

[axpgn]

"Vincent46":$3.$ $x < 4$ non va bene, e neanche $x \geq 5$. Quindi dev'essere $[x]=4$.

Sì, ma la soluzione qual è ?

$14/3$

[Vincent46]

Beh, non volevo imbeccargli la risposta. Come ho scritto, si trattava di suggerimenti.

[RuCoLa1]

Sì nel senso che la x che cerco è quel numero che elevato al cubo mi da 84... visto che x>= 5 lo supera il numero è compreso tra 4 e 5, quindi [ x]=4. Per calcolare che fa 14/3 esiste un metodo o si procede per tentativi?

[Vincent46]

"RuCoLa":Sì nel senso che la x che cerco è quel numero che elevato al cubo mi da 84... visto che x>= 5 lo supera il numero è compreso tra 4 e 5, quindi [ x]=4. Per calcolare che fa 14/3 esiste un metodo o si procede per tentativi?

Non è proprio "quel numero che elevato al cubo mi dà 84", perché altrimenti l'equazione sarebbe: $x^3=84$. Però il senso è quello.

Così di primo acchito ragionerei dividendo l'equazione in sottocasi:

1. se $4 \leq x < 4.25$, allora $[4x] = 16$, quindi $x[x[x]] = x[4x] = 16$; quindi l'equazione diventa $16x=84$, da cui $x = 5.25$, che non va bene (perché avevamo supposto $4 \leq x < 4.25$) ;
2. se $4.25 \leq x < 4.5$, allora $[4x]=17$, perciò ...

eccetera.

Nota che la soluzione è una e una sola, perché la funzione $x[x[x]]$ è strettamente crescente.

[anto_zoolander]

Io mi sono concentrato sul primo che noto essere abbastanza lungo.
Mi viene:

• costante: $k=-3/2$

• almeno una soluzione: $kinRR:kin[-1,-1/2]$

Io l'ho risolto con la geometria analitica, se interessasse il procedimento.
Per quanto riguarda il secondo, che non se l'è filato nessuno, io l'ho risolto così:

$1998^(|sin(x)|)=|sin(ax)|^(1998)$

intanto noto che $x=0$ non è mai soluzione, di conseguenza poniamo $ane0$

$0leq|sin(x)|leq1$ da cui $1leq1998^(|sin(x)|)leq1998$

di fatto è una funzione composta $f:RR->[0,1]$ e $g:RR->RR^>$

dovendo far coincidere il codominio di $f$ con quello di $g$ ottiene $g:D=[0,1]->RR^>$
ora per stretta crescenza dell'esponenziale e teoremi sulla monotonia

$g(0)=min_(D)=1$ e $g(1)=max_(D)=1998$

da cui si trova che:

$g:[0,1]->[1,1998]$

$gcircf:RR->[1,1998]$

in particolare la funzione segue la monotonia di $|sen(x)|$
Questo mi è servito per notare che l'unico punto in cui si possono incontrare è proprio dove entrambe valgono $1$, poiché l'altra funzione è banalmente

$0leq|sin(ax)|^1998leq1$

dunque $|sin(ax)|^1998=1=>sin(ax)=pm1 <=> ax=(pi)/2+kpi$ ovvero $x=(pi)/(2a)+(kpi)/a$

$1998^(|sin(x)|)=1 <=> |sin(x)|=0 <=> x=tpi$

$tpi=(pi)/(2a)+(kpi)/a$

$at=1/2+k$ e infine ponendo $tne0$ si ottiene $a=((2k+1)/(2t))$

naturalmente $foralltinZZ^ne,kinZZ$

ora vediamo il caso particolare $t=0$. Se $t$ fosse $t=0$ avremmo $x=0$ che abbiamo detto non essere soluzione a priori, dunque possiamo tranquillamente scartarla.
Possiamo tenere $k=0$ poiché avremmo $a=1/(2t)$ e $x=pi/(2a)$ a cui basterebbe imporre $t=1$ per avere $a=1/2$ e $x=pi$

spero possa interessare qualche idea. Good night