Problema semplice

[anto_zoolander]

Il problema è molto semplice di per se, però mi interessa vedere altre risoluzioni

data una circonferenza $gamma$ e un punto $P$ fissato della circonferenza, considera tutte le corde della circonferenza che hanno un estremo in $P$. Qual è il luogo descritto dai punti medi delle corde?

Fa' parte di una prova canadese, o di un'olimpiade canadese se non sbaglio.

[@melia]

È la circonferenza con centro il punto medio del segmento PC, dove C è il centro della circonferenza data, e raggio $r/2$, con $r$ raggio della circonferenza data. Risolvendola con la geometria analitica viene abbastanza semplice. Per alleggerire i calcoli ho usato la circonferenza di centro $(r, 0)$ e raggio $r$, e il punto $P$ coincidente con l'origine degli assi cartesiani.

[anto_zoolander]

si io l'ho fatto con la geometria analitica ponendo il centro in $C(0,0)$ e raggio $r$ fissando $P(r,0)$ senza perdita di generalità. Volendo considerare $(1,0)$ o $(r,0)$ non complica i calcoli. Tra l'altro sono convenuto del fatto che tutte le corde condotte da un punto sono proporzionali tra loro. Mi interessava anche qualcosa di sintetico

[consec]

Preso il punto medio $M$ del raggio $OP$, consideriamo una corda generica uscente da $P$ che interseca la circonferenza in un altro punto, diciamo $C$, e chiamiamo $N$ il punto medio. Il segmento $MN$, che ha come estremi i due punti medi, è lungo la metà del lato $OC$, che è ovviamente costante per tutte le corde in quanto raggio della circonferenza.
Allora il luogo cercato è la circonferenza di centro $M$ e raggio $OM$

[giammaria2]

Aggiungo un'altra soluzione sintetica.
Detti $O$ il centro ed $M$ il punto medio di una corda, l'angolo $PhatMO$ è retto: il luogo cercato è quindi il luogo dei punti che vedono $PO$ sotto un angolo retto, cioè la circonferenza di diametro $PO$.

P.S. Cosa significa la frase di anto_zoolander "Tra l'altro sono convenuto del fatto che tutte le corde condotte da un punto sono proporzionali tra loro" ?

[anto_zoolander]

@Giammaria

non so se è vero e non l'ho verificato ma mi sembra una cosa ovvia. Che il rapporto tra una corda corda e il suo punto medio è costante comunque si prende una corda condotta da un punto fisso e un altro punto. Devo ammettere che non l'ho verificato però.

[giammaria2]

Grazie, forse adesso ho capito: intendi dire che il rapporto fra due corde è uguale a quello fra le loro metà. Sì, questo è ovvio e vale anche per segmenti qualsiasi.

[anto_zoolander]

Comunque mi piace molto la tua soluzione che usa la proprietà della corda grazie

si innocentemente ignoravo la validità per le corde, non so perché