Matematicamente

Ciao a tutti, apro un altro thread con un quesito riguardante teorema della mappa aperta e corollari. Consideriamo due spazi di Banach $X$ e $Y$, ed un operatore lineare limitato $T:X rarr Y$. Si provi l'equivalenza delle seguenti affermazioni: $\text{i) }T \text{ e' una mappa aperta di X su } T(X)$ $\text{ii)}EE M>0:AAyinT(X)$ $EEx in T^{-1}(y): norm(x)<= Mnorm(y)$ $\text{iii)}EE K>0:norm(x+ker(T))<=Knorm(Tx)$ $AAx inX$ L'implicazione $(i) rArr (ii)$ è una diretta conseguenza del fatto che le applicazioni aperte portano intorni dello zero in ...

Vorrei chiedere aiuto in merito alla risoluzione di un particolare esercizio... Date due permutazioni $\sigma=(1,2,3,4,5)(6,7,8)(9,10,11)$ e $\tau=(1,3,2,4,5)(6,8,7)(9,11,10)$ trovare l'intersezione $<\sigma>nn<\tau>$ L'intersezione è un sottogruppo ciclico di $S_11$ del tipo$<\alpha>$ e quindi si avrà sicuramente che esistono $s,t\in\ \NN\ \tali\ \che\ \alpha=\sigma^s=\tau^t$ Sicuramente è il caso della permutazione identica(poichè ovviamente sigma e tau sono ciclici). Ma come posso trovare le altre permutazioni non banali? Servirebbe trovare ...

Ciao. Credo di essermi bloccato su una scemenza. Siano \( F \) e \( F^\prime \) due \( R \)-moduli liberi (dove \( R \) è commutativo), di basi rispettivamente \( \{e_i\}_{i\in I} \) e \( \{f_j\}_{j\in J} \). Una funzione \( g_0 \) del prodotto \( \{e_i\}_i\times\{f_j\}_j \) in un \( R \)-modulo \( M \) si estende in modo unico a una funzione bilineare \( g\colon F\times F^\prime\to M \): dati \( x = \sum_ix_ie_i \) in \( F \) e \( y = \sum_jy_if_i \), suddetta \( g \) mappa \[ g\colon ...

Buonasera, ho dei dubbi su questo esercizio: sia $A=$$((4,0,0,0),(1,4,0,0),(1,0,4,0),(0,2,1,1))$ una matrice a coefficienti in un campo $F$ Determinare la forma canonica di Jordan di $A$ al variare della caratteristica di $F$. Non ho ben compreso cosa sia la caratteristica $Char(F)$ e come si fa a determinarla: in particolare, calcolato il polinomio caratteristico $(x-4)^3(x-1)$, non mi è chiaro perchè gli autovalori $1$ e ...

Dimostra che tutti gli spazi Hilbertiani sono riflessivi. Le soluzioni dicono quanto segue, ma io ho un dubbio. Secondo me la sua applicazione non è ben definita. Ma probabilmente sono io a fare confusione. Sia dunque \( H \) uno spazio di Hilbert su \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \) e sia l'applicazione \( T : H \to H^{\ast} \) tale che \( (Ta)(x)= \left< x, a \right> \) per ogni \( x \in H \) che è una biiezione che soddisfa \( \begin{Vmatrix} Ta \end{Vmatrix}_{H^{\ast}} ...

Dimostra che se \(X \) è uno spazio vettoriale normato e \( X^{\ast} \) è separabile allora \( X\) è separabile. Deduci che \( \ell^1 \) non è riflessivo. Indicazione: se \( \{ f_n: n \in \mathbb{N} \} \) è un sottoinsieme denso in \(X^{\ast} \), scegliere per ogni \(n \), \(x_n \in X \) tale che \( \left| f_n(x_n) \right| \geq \frac{1}{2} \parallel f_n \parallel \) e \( \parallel x_n \parallel \leq 1 \). Allora pre il punto 1, ovvero dimostrare che \(X\) è separabile ci sono. L'unica cosa ...

Salve, in Laboratorio di Programmazione 1, al primo anno del corso di triennale di matematica, abbiamo fatto gli automi a stati finiti, e tuttavia non ci è stato spiegato bene come si determinano tutte e sole le stringhe che vengono accettate da un automa. Dato che si avvicina la prova intercorso, volevo chiedervi se ci fosse un metodo del genere e quale fosse.

C'è una parte della soluzione di questo esercizio che non capisco molto bene. Sia \( p \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \) tale che \( \min_{t \in [0,1] } p(t) > 0 \) e \( \int_0^1 p^{-1}(t)dt = 1 \). Dimostra l'esistenza di una successione \( \{ \mu_n \}_n \subset \mathbb{R} \) e di una successione ortonormata totale \( \{e_n\}_n \) di \( (C([0,1],\mathbb{R}),\left< \cdot,\cdot \right> ) \) tale che \[ \left\{\begin{matrix} -(p(s)e_n'(s))'& = &\mu_n e_n(s) \\ e_n(0)= e_n(1)=0& &\\ e_n \in ...

devo calcolare la singolarità a $ z=∞ $ della funzione di variabile complessa $ f(z)=α^{-z $ con $ α>0 $ parametro reale per calcolare la singolarità per $ z=∞ $ ho pensato di esprimere $ α^{-z}=e^{-zlog(α)} $ e di fare lo sviluppo in serie di taylor dell'esponenziale centrato in $ z'=1/z=0 $ : $ 1-zlog(α)+1/2(zlog(α))^2-1/6(zlog(α))^3 $ ma basta fare lo sviluppo di taylor o devo fare lo sviluppo di taylor-laurent? scusate la confusione, sono i primi esercizi che faccio......

Sia uno spazio di Hilbert \( (H, \left< \cdot, \cdot \right> ) \) di dimensione infinita e un operatore lineare \( A \in \mathcal{L}(H) \) simmetrico e compatto t.q. \( (N(A), \left< \cdot, \cdot \right> \) è separabile. Sia ancora una successione ortonormata totale \( \{u_n\} \) di \(H\) formata da autovettori di \(A\) e la successione \( \{\lambda_n\}_n \) di autovalori corrispondenti. Per \( f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \) definiamo \( f(A):H \to H \) per \[ \forall x \in H, f(A)x = ...

Ciao, dovrei dimostrare \(\displaystyle a(bc) \equiv_m b \land MCD(a,m)=1 \implies ac \equiv_m 1 \) È facile arrivare a dire che \(\displaystyle \exists h \) tale che \(\displaystyle b(ac-1) = mh \) Per dimostrare il teorema \(\displaystyle m \) deve rimanere la stessa, quindi dovrei dimostrare che \(\displaystyle b|h \) in modo tale da avere \(\displaystyle h = b*k \) e poter semplificare il tutto a \(\displaystyle ac -1 = mk \) ma ho dei problemi a dimostrare ciò. Sareste così gentili da ...

Siano degli spazi vettoriali normati \( X,Y\) e sia \( T \in \mathcal{L}(X,Y)\), dove \( \mathcal{L}(X,Y)\) denota lo spazio degli operatori lineari limitati. Dimostra che se \( \dim_{\mathbb{F}} R(T) < \infty \) allora \(T \) è compatto. Dove \( \mathbb{F} = \mathbb{R} \) oppure \( \mathbb{C} \). Non sono sicurissimo di come ho proceduto. Va bene secondo voi? Ponendo \(n:= \dim_{\mathbb{F}} R(T) \) abbiamo che \( R(T) \cong \mathbb{F}^n\), sia dunque \( \{e_1, \ldots, e_n\} \) una base di \( ...

Ciao, vorrei un approfondimento sulle proprietà della produttoria. Con $\gamma$ e $\beta$ costanti devo partire da qui: $\prod_{i=1}^10 {\gamma*\beta^(-\gamma)*y_i^(\gamma-1)*exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$ e arrivare qui: $=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*exp{(gamma-1) \sum_{i=1}^10 log y_i - \sum_{i=1}^10 (y_i/beta)^\gamma}$ Primo passaggio: $=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)*\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1)*\prod_{i=1}^10 exp[-(y_i/\beta)^\gamma]}$ Secondo passaggio (l'esponenziale di un logaritmo di x = x; il prodotto di esponenziali di qualcosa = l'esponenziale della sommatoria di quei qualcosa): $=\gamma^10*\beta^(-10\gamma)* exp[log (\prod_{i=1}^10 y_i^(\gamma-1))]* exp[- \sum_{i=1}^10 (y_i/\beta)^\gamma]$ Terzo passaggio (log di x con esponente = valore esponente per log di x; log della produttoria ...

Discuti, al variare del parametro k, la posizione reciproca delle seguenti rette di equazioni: (2k-1)x+y-3k e 3kx-2y+k-1 Grazie mille.

C'è un modo semplice per capire se una funzione è di classe C infinito? *** [xdom="gugo82"]Siccome non ci piace che un thread venga decapitato, ripristino la domanda posta dall'utente: a) Sia $ f \in C^{\infty}(\RR)$ verificante le seguenti condizioni, i) Esiste $K > 0 $ tale che per ogni $x \in \RR $ e $n \in \NN $ si ha $ |f^{(n)}(x)| <= K $, ii) Per ogni $n \in \NN $ si ha $f(1/n) = 0 $. Dimostrare che necessariamente $ f -= 0 $ su ...

Propongo un problema che si è rivelato molto più difficile di quanto mi aspettassi. Sia \( \{f_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni in \( C^1(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}) \) tali che \[ \lim_{k \to + \infty} f_k(x) =0 \quad \forall \, x \in \mathbb{R}^d.\] E' vero o no che \[ \lim_{k \to + \infty} \inf_{x \in \mathbb{R}^d} |\nabla f_k(x)| =0\]? Ovviamente sto indicando con \( |\cdot | \) la norma Euclidea su \( \mathbb{R}^d\) e con \( \nabla \) il gradiente. Purtroppo non ...

Ciao a tutti, volevo capire una cosa riguardo gli spazi di Krilov. Come metodi di proiezione, ho di solito due spazi vettoriali $K $ ed $L$ e cerco il mio approssimante nello spazio affine $x \in x_0 + K$ e impongo la condizione (Petrov-Galerkin) che il residuo $r=b-Ax$ sia ortogonale all'altro spazio $L$. Perchè devo imporre questa condizione? e sugl'appunti trovo che è necessario che $dim(K)=dim(L)$ per avere unicità.

Buongiorno a tutti, ho questo limite; $lim_{x \to +\infty} xlog((x+3)/(x+1))$ e vorrei capire se (i) ho svolto correttamente il ragionamento e (ii) se ho preso una strada troppo lunga pur usando o-piccolo. Faccio un semplice cambio di variabile ponendo $y=1/x$, e osservando che per $x$ che tende a $\infty$, ho $y\rightarrow 0$ con $x=1/y$. Riscrivo il limite come segue: $lim_{y \to 0} 1/y log((1+3y)/(1+y))$ Aggiungo e tolgo $1$ nell'argomento del logaritmo e ...

Ciao a tutti, Avrei un dubbio sullo sviluppo di questa equazione x*(6.6667/(100-x))=(100-x)*15/x In un risolutore on line, esponendo i vari passaggi, trovo questo passaggio che non mi è chiaro -8,333*x^2+3000x-150000=0 Come è stato ottenuto il valore - 8,333?potreste descrivermi come ci si arriva? Grazie

Salve a tutti, è da un po' che non sono molto attivo sul forum (ma non vi preoccupate, ci sono anche se non mi vedete ). Poiché nell'ultimo anno mi sono dedicato poco alla Fisica, per una moltitudine di motivi, ho pensato che il mio ritorno dovesse includere qualche progetto del tipo che vi sto a illustrare. Ho intenzione di redarre un po' di appunti di Fisica della Materia in maniera pubblica, in modo che sia utile per me nel ricordare vari concetti e nozioni, ma, soprattutto, spero che ...