Inf del gradiente di una successione puntualmente convergente a $0$
Propongo un problema che si è rivelato molto più difficile di quanto mi aspettassi.
Sia \( \{f_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni in \( C^1(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}) \) tali che
\[ \lim_{k \to + \infty} f_k(x) =0 \quad \forall \, x \in \mathbb{R}^d.\]
E' vero o no che
\[ \lim_{k \to + \infty} \inf_{x \in \mathbb{R}^d} |\nabla f_k(x)| =0\]?
Ovviamente sto indicando con \( |\cdot | \) la norma Euclidea su \( \mathbb{R}^d\) e con \( \nabla \) il gradiente.
Purtroppo non riesco a dare né una risposta affermativa né una negativa, tranne che, banalmente, in dimensione $d=1$,caso nel quale l'affermazione è vera.
Il problema è stato proposto anche su mathstackexchange e su mathoverflow, purtroppo senza nessuna risposta.
Sia \( \{f_k\}_{k \in \mathbb{N}} \) una successione di funzioni in \( C^1(\mathbb{R}^d; \mathbb{R}) \) tali che
\[ \lim_{k \to + \infty} f_k(x) =0 \quad \forall \, x \in \mathbb{R}^d.\]
E' vero o no che
\[ \lim_{k \to + \infty} \inf_{x \in \mathbb{R}^d} |\nabla f_k(x)| =0\]?
Ovviamente sto indicando con \( |\cdot | \) la norma Euclidea su \( \mathbb{R}^d\) e con \( \nabla \) il gradiente.
Purtroppo non riesco a dare né una risposta affermativa né una negativa, tranne che, banalmente, in dimensione $d=1$,caso nel quale l'affermazione è vera.
Il problema è stato proposto anche su mathstackexchange e su mathoverflow, purtroppo senza nessuna risposta.
Risposte
Per curiosità, hai provato a vedere cosa succede se assumi la convergenza uniforme su tutto \( \mathbb{R}^n\)? Magari è una stronzata ed il problema diventa banale (non ci ho pensato), magari invece si capisce qualcosa in più.
Ciao, se la convergenza è uniforme la risposta è affermativa. In effetti hanno risposto anche alla domanda in generale su mathoverflow e in effetti c'è un controesempio (abbastanza pazzesco). Nei commenti spiegano anche la questione della convergenza uniforme.
"Bremen000":
Ciao, se la convergenza è uniforme la risposta è affermativa. In effetti hanno risposto anche alla domanda in generale su mathoverflow e in effetti c'è un controesempio (abbastanza pazzesco). Nei commenti spiegano anche la questione della convergenza uniforme.
Ho visto adesso. Infatti mi aspettavo qualcosa di mostruoso come controesempio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo