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Ho da poco studiato il teorema dell'inversione dell'ordine di derivazione di Clairaut-Schwarz e viene usato per mostrare che l'Hessiana di una funzione $C^2$ è simmetrica, mi chiedevo, ha altre importanti applicazioni il teorema?

Buongiorno, riporto una traccia di un esercizio d'esame. Al variare del paramentro h determinare una base ortonormale dello spazio Wh = (h;-h; 0; 1) ; (0; h; 0; h) Solitamente uso il procedimento di Gram Schmidt. Inizio col verificare che i vettori siano indipendenti(giusto?), quindi per h diverso da 0, altrimenti il secondo è il vettore nullo. Scelgo il primo vettore come primo vettore della base ortogonale e poi trovo il secondo. Serve che il denominatore degli scalari che trovo siano ...

Un piccolo cilindro di materiale dielettrico `e posto ad una distanza l = 2R dal centro di una sfera conduttrice di raggio R. Le dimensioni del cilindro sono trascurabili rispetto a R e il suo volume è V. Quando la sfera viene portata a V0, la forza con cui il cilindro viene attratto è F. Calcolare la polarizzazione del cilindro e la costante relativa dielettrica. vorrei solamente chiedervi come mai il libro, nello svolgimento dell'esercizio, scrive che $ q=4piepsilon_0RV $ . come ottengo questo ...

salve ho alcuni problemi nella risoluzione di quest'integrale sul quadrato espresso. a primo impatto calcolerei la soluzione con uno sviluppo di laurant siccome si ha una singolarità essenziale in x=0, ma siccome lo devo calcolare sulla curva questo non è possibile. Una volta fatta la parametrizzazione non so some procedere. $\int_ Γ\z^2*e^(frac{1}{z^3}\ \text{d} z$ la curva è (1,1)(1,-1)(-1,1)(-1,-1)

Allora ho due problemi che non riesco a risolvere questi due esercizi: Il primo dice di provare una formula $\int (1/(t^2+1)^n ) dt=(x/(2(n-1)(x^2+1)^(n-1)))+( (2n+3)/(2(n-1)))\int ( 1/( t^2+1)^(n-1) ) dt$ Sinceramente non so nemmeno da dove iniziare Il secondo è un problema di area fra funzioni e dice di calcolare l'area di ${ (x,y): x<=y<=1-x^2, x*y>=0 }$ ho provato a ricavare la x e la y \begin{equation} \begin{cases} x^2+x-1>=0\\xy>=0 \end{cases} \end{equation} Ma in questo modo non faccio altro che trovarmi due intervalli di $x$, e quindi due intervalli di ...

Ciao a tutti, Dovrei calcolare questo integrale $ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy, $ dove $ D_2=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}: x^2+16y^2\leq16, x\geq0, y\geq 0\} $ ma non riesco a parametrizzarlo in maniera decente. Un'idea (non furba visto il risultato) era quella di utilizzare le coordinate ellittiche: $ { ( x=4\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):}\qquad\text{con } rho\in[0,1]\text{ e } theta\in[0,\frac{\pi}{2}] $ Il problema è che viene questo pacciugo $ int int_(D_2)^()e^{\frac{x^2}{4}+y^2}\abs{\frac{x^2}{4}+y^2-1} dx dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2}e^{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta}\abs{4\rho^2cos^2\theta+rho^2sin^2\theta-1}\ 4\rho\ d\rhod\theta $ DOMANDA: C'è un modo più furbo per esprimere la parametrizzazione in modo che l'integrale si riesca a calcolare? Come lo calcoloreste?

Calcolare il lavoro del campo vettoriale $ \barF=\frac{(x,y)}{x^2+y^2} $ lungo l'arco di parabola $ y=x^2,x\in[-1,1] $. Sono riuscito a calcolarlo ma la curva non è tutta contenuta nell'insieme $ \Omega={(x,y):x^2+y^2>0}=R^2-{(0,0)} $ di definizione di $ \barF $. E' possibile?

Nella mia animazione https://www.geogebra.org/m/sbkam8py una sfera oscilla tra un estremo e l'altro. La forza della molla oscilla tra zero e +10, la forza peso mg è sempre uguale a -5. Nella posizione di massima elongazione, sul punto K agiscono due opposte forze. Una è la forza della molla diretta verso l'alto e il cui valore è certamente uguale a 10. L'altra è la forza della sfera diretta verso il basso: quanto vale quest'ultima forza sul punto K? Vale -10 o -5?

Devo verificare se la funzione [tex]\displaystyle f(x)= \frac{x^3-7x+2}{x-3}[/tex] assume un massimo assoluto e un minimo assoluto in un intervallo [0,1] che procedimento devo utilizzare?

due condensatori $ C_1,C_2 $ con armature quadrate di lato $ l $ distanti $ h=1cm $ di capacità $ C_0=10^-9F $ sono connessi ad un generatore $ V_0=10^3V $ . in $ C_1 $ è parzialmente inserita per un tratto x una lastra conduttrice di base $ l^2 $ e spessore $ s=6mm $ ; in $ C_2 $ è parzialmente inserito per un tratto y un blocco di dielettrico di base $ l^2 $ e spessore $ h $ . Le forze ...

Ho studiato dal libro Probability - Shiryayev, che una funzione definita su uno spazio misurabile \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{F}) \) a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), è detta misurabile se è tale che l'anti-immagine di ogni insieme di Borel sia un insieme della \(\displaystyle \sigma \)-algebra \(\displaystyle \mathcal{F} \). Vorrei legare questa definizione con quella che invece viene data nel libro di Gianni Gilardi, Analisi 3, in cui si dice che per definizione una funzione ...

Ciao a tutti, scrivo qui perchè ho un dubbio da risolvere in merito a questo esercizio: "Due lenti convergenti di distanze focali f1=10cm e f2=20cm sono poste ad una distanza d=50cm l’una dall’altra. L’immagine data dalla luce che attraversa entrambe le lenti si forma nella posizione indicata x=31cm. a. A quale valore di p deve essere posto l’oggetto a sinistra della prima lente? b. Qual è l’ingrandimento dell’immagine finale? c. L’immagine finale è diritta o capovolta? d. L’immagine finale è ...

Ciao a tutti, sto facendo diversi esercizi sui limiti per fare un pò di pratica e sono arrivato ad un esercizio che ho risolto in fretta (sbagliando) e dopo aver visto la soluzione, il ragionamento fatto nell'esercizio svolto correttamente mi torna, ma continuo a non capire quale valutazione sbagliata ho fatto. L'esercizio è questo: $ lim_(x->∞) e^(-x) (e + 2/x)^x = e^(2/e) $ la risoluzione che ho trovato prevede di raccogliere "e": $ lim_(x->∞) e^(-x) (e ((2 1/e)/x + 1))^x $ semplificare $e^(-x)$ con ...

Scusate ho dei dubbi su come risolvere i limiti con taylor: per es. $\lim_(x\to0){(e^x-sinx-cosx)/(e^(x^2)-e^(x^3))}$ Io ho fatto così ma non so se sia corretto (ometto il limite e scrivo solo il suo contenuto per brevità): $(1+x+(x^2/2)+(x^3/6)+o(x^3)-x+(x^3/6)+o(x^3)-1+(x^2/2)+(x^4/(4!))+o(x^4) )/(1+x^2+o(x^2)-1-x^3+o(x^3))$ e quindi $(x^2(1+(x/3)+o(x) ) ) / (x^2+o(x^2))$ e quindi ottengo che $\lim_(x\to0)f(x)=1$ Adesso arriviamo alla nota dolente: non riesco a capire come risolvere questo limite: $\lim_(x\to0){ ((x^5e^(x^3)-log(1+x^5)) / (sqrt(1+x^4)-1)^2 }$ Ho provato così (riscrivo solo gli sviluppi per brevità): $((x^5(1+x^3+o(x^3)) -x^5+o(x^5) )/( (2x^4)/(sqrt(1+x^4)+1)^2 ))$ e qui mi son bloccato purtroppo. Come ...

1) Dire se la seguente funzione è continua in $ (-1,0) $ $f(x,y)= { ( e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2})ify<(x+1)^2 ),( 0 ify>= (x+1)^2):} $ Devo calcolare il limite $ lim_((x,y) ->(-1,0))e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2} $ Sarei portato a dire subito che questo limite fa $ 0 $ (implicando la continuità) perchè per $ (x,y)->(-1,0) $ , $ y-(x+1)^2->0 $ e quindi $ e^(-\frac{1}{y-(x+1)^2}) ->0 $ E' corretto come ragionamento o devo passare necessariamente per la verifica dell'esistenza del limite con le restrizione su rette e alla maggiorazione con funzione infinitesima? 2) ...

Ciao a tutti!Ho dei dubbi nella risoluzione di questi integrali: 1- $int e^(2x)+xroot(3)(e^2x +x^2) dx$ 2- $int 14/(x^3-13x-12) dx$ Nel primo volevo procedere per sostituzione con l'esponenziale, ma i quel caso come devo comportarmi con le due x? Nel secondo ho provato a scomporre il denominatore ma poi non so procedere

Ciao a tutti di nuovi qui con questi esercizi di cui non posso verificare soluzione perchè non c'è Sia $X~ Gamma(1/2 ; 3)$ e sia $Y =sqrt(X)$ i) Calcolare $ E(Y )$, $Var(Y )$. ii) Scrivere la funzione di densità di $Y$, evidenziando per quali valori la funzione di densità è non nulla -------------------------------------------- i) Calcolo tipo $E(g(X))=\int_{-infty}^{infty} g(x)f_X(x) dx$ nello specificio $E(g(Y))=\int_0^{oo}x^(1/2)\3^(1/2)/(Gamma(1/2)) x^(1/2-1) e^(3 x) dx$ seguira $=\int_0^{oo}x^(0)\3^(1/2)/(Gamma(1/2)) e^(3 x) dx=sqrt(3/pi) \int_0^{oo}e^(-3x)dx$ dividendo e moltiplicando ...

Devo calcolare l'are A della regione di piano delimitata dalla curva di equazione [tex]\displaystyle y= 3x-{x^2}[/tex]e dall'asse delle ascisse? Ho prima tracciato la curva in base a ciò per calcolare l'area ho svolto l'integrale tra o e 3 in questo modo: [tex]\displaystyle \int_{0}^{3}(3x-{x^2}) dx[/tex] e risolvendolo mi viene [tex]\displaystyle \frac{9}{2}[/tex] Giusto?

Ho un dubbio sul seguente esercizio su cui le note del Prof. fanno dei ragionamenti che non ho capito : si chiede dato un gruppo ciclico di ordine 25 se esistono - morfismi suriettivi $G->ZZ_7$ - morfismi suriettivi $G->ZZ_5$ - morfismi suriettivi $G->ZZ_5xxZZ_5$ Riporto i ragionamenti che vorrei chiedere e chiarire: - per il primo dice che non esiste un tal morfismo poiché sfruttando lagrange ho che $f^-1(ZZ_7)$ è sottogruppo di G, essendo tale sottogruppo di ...

Ciao ragazzi, vorrei chiedere un aiuto su un primo esercizio che svolgo sui numeri complessi: $(1+i)*w$ con w complesso coniugato di z con $z=r(cos theta + i sin theta)$ L'esempio è facile portandosi a $(1+i)=sqrt2(cos (pi/4) + i sin (pi/4))$ e scrivendo il complesso coniugato di z: $w=r(cos theta - i sin theta)$ che ho pensato di riscrivere come $w=r(cos theta + i sin -theta)$ ora il mio dubbio, siccome ho bisogno di uno stesso theta ho usato la parità di cos e $w=r(cos -theta + i sin -theta)$ adesso: $(1+i)*w=sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos -theta + i sin -theta)=sqrt2*r(cos (pi/4-theta) + i sin (pi/4 - theta))$ mentre la soluzione riporta come ...