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Buongiorno. Ho il seguente esercizio riguardante il duale di uno spazio vettoriale. Sia $V':=mbox{Hom}(V,K):={phi: V to K \quad | phi \quad mbox {lineare} }.$ Considerata l'applicazione bilineare $<\cdot,\cdot>\quad : \quad (phi, v) in V'\timesV to <phi,v>:=phi(v)in K$ detta dualità canonica di $V$. Devo dimostrare $<phi,v>\quad=0 \quad forall phi in V' <=> v=0$ $\Leftarrow$ Sia $v=0$ allora si ha $<phi,v>\=<phi,0>\=phi(0)= 0$ $\Rightarrow$ Sia ${v_1,...,v_n}$ base di $V$ allora per ogni $v in V \rightarrow v=sum_(i=1)^n a_iv_i.$ Sia $phi in V'$ si ha $0=<phi,v>\=<phi,sum_(i=1)^n a_iv_i>\=phi(sum_(i=1)^na_iv_i)=sum_(i=1)^na_iphi(v_i).$ D'altra parte ...

Salve, nel calcolo delle correzioni fini di un atomo di idrogeno capita di dover effettuare conti di questo tipo $<n\, l \, s \, j \, m_j|1/r|n\, l \, s \, j\, m_j>$, dove $J$ è il momento totale. Il mio professore scrive che questo bracket è uguale a $\int dr r^2 R_(n,l) 1/r R_(n,l)$ ma non riesco a capire in che modo le parti angolari si prendono cura di loro stesse. Io provavo a giustificarlo usando il fatto che $|n\, l \, s \, j \, m_j> =|n> \otimes |l\, s\, j \, m_j>$ ma non sono sicuro che sia vera quest'ultima cosa.

Salve Stavo risolvendo il seguente problema di elettrostatica ed ho un dubbio riguardante l'ultimo punto. Il testo è il seguente: Per semplicità riporterò solo i moduli delle quantità in esame. Ho calcolato il campo presente nelle varie regioni tramite il teorema di Gauss, semplificando, di molto!!, la notazione ho ottenuto: $E1$ per $r<R1$ $E2$ per $R1<r<R2$ $0$ per $R2<r<R3$ $E3$ per ...

Non riesco a risolvere un esercizio seppure piuttosto semplice, il testo chiede Su Z si consideri la seguente relazione: aRb se ∃n,m numeri interi dispari tali che an=bm A) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è {0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}? B) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è {0}∪{2n⋅3 | n∈N}? R: si entrambe (ma non riesco a ...

\( \newcommand{\cat}[1]{\mathsf{#1}} \)Un esercizio (il 2.4.vii che c'è in Category Theory in Context di E. Riehl) chiede di provare che, se \( \cat C \) è una categoria localmente piccola, c'è un funtore \[ \int({-})\colon \cat{Set}^{\cat C}\to \cat{CAT}/{\cat C} \] dalla categoria \( \cat{Set}^{\cat C} \) dei funtori \( \cat C\to \cat{Set} \) verso una categoria slice \( \cat{CAT}/{\cat C} \) della categoria \( \cat{CAT} \) delle categorie localmente piccole. Ora, io so dare un funtore (cambio le ...

Ciao a tutti! Mi servirebbe una mano con questo esercizio: Calcolare il seguente integrale triplo $$\int_{T}|x-z|\,dx\,dy\,dz$$ con $T:y\geq0, x^2+y\leq1,0\leq z \leq1$ Il mio problema è il valore assoluto della funzione integranda. L'insieme diventa: ${ ( 0\leq y\leq1-x^2 ),( -1\leq x \leq1 ),( 0\leq z \leq1):}$ E quindi ottengo $\int_{T}|x-z|\ dx\ dy\ dz=\int_{0}^{1}dz\int_{-1}^{1}dx\int_{0}^{1-x^2}|x-z|\ dy= \int_{0}^{1}dz\int_{-1}^{1}|x-z|(1-x^2)\ dx$ E non so come continuare. Probabilmente bisogna gestire l'insieme in maniera differente? Mentre scrivevo il messaggio mi è venuta in mente qualcosa ma non ...

Sono interessato a studiare il flusso d'aria prodotto da un ventaglio. Supponiamo ad esempio che il ventaglio sia una superficie rettangolare di base $b$ e altezza $h$. Quando sventoliamo il ventaglio lo facciamo ruotare attorno alla sua base con velocità angolare $\omega$. Come si può descrivere il flusso dell'aria generato dal movimento del ventaglio?

Buonasera. Sto leggendo la dimostrazione dello sviluppo di Laplace dalla dispense del prof. Manetti https://www1.mat.uniroma1.it/people/man ... ineare.pdf che si trova a pagina 187. Ci sono alcuni passaggi che non mi tornano molto. La dimostrazione si articola cosi: Sia $A$ una matrice di ordine $n$ a valori in $K$ e il suo determinante è definito dalla seguente formula ricorsiva $detA:=sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(1j)detA_(1j)$ la trovate a pagina 175 delle dispense. Lo sviluppo di Laplace consiste nel far ...

Stabilire se la seguente funzione è continua in $ (0,0) $ $ f(x,y)={ ( \frac{xy^3}{x^2+y^4}+x if(x,y)\ne(0,0) ),( 0if(x,y)=(0,0) ):} $ Ho ristretto la funzione alle rette passanti per l'origine ed ho verificate che i limiti esistono e sono uguali: $ f(x,0)=x->0 $ $ f(0,y)=0 $ $ f(x,mx)=\frac{m^3x^4}{x^2+m^4x^4}+x->0 $ ed ho provato anche su diverse curve ( $ x=my^2,y=mx^2 $ ) ottenendo lo stesso risultato. Sono passato in coordinate polari per maggiorare: $ |\frac{\rho^4cos\thetasen^3\theta}{\rho^2cos^2\theta+\rho^4sen^4\theta}+\rhocos\theta|\le|\frac{\rho^2cos\thetasen^3\theta}{cos^2\theta+\rho^2sen^4\theta}|+|\rhocos\theta| $ Volendo eliminare un addendo dal denominatore del primo termine, mi ritrovo ...

Buonasera, starei cercando di risolvere il seguente esercizi: Sia $S\sub \mathbb{R}^3$ la superficie definita da $S={(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: z=x^2-y^2, x^2+y^2\leq 4}$ a. Trovare l'espressione del vettore normale alla superficie $S$ nel suo generico punto. b. Calcolare l'area della superficie $S$. c. Dimostrare che se $\gamma$ è la curva parametrizzata da $\gamma(t)=(2\cos t, 2\sin t, 4\cos^2t-4\sin^2t)$, per $t \in [0,2\pi]$, allora per ogni campo vettoriale $V$ di classe $C^1$ definito ...

Vorrei chiedere alcune piccole domande: Devo provare che valgono le seguenti disuguaglianze: $1+x<=e^x \forall x \in R$ $log(1+x)<=x \forall x > -1$ Non ho ben capito come fare usando i teoremi elencati sopra(l'esercitazione riguarda la derivata in generale e l'applicazione di Lagrange, Rolle e così via). Tuttavia per la prima equazione ho pensato che sapendo che l'esponenziale è una funzione convessa in tutto $R$, e dovendo il suo grafico stare tutto al di sopra di ogni sua retta tangente in ...

Buongiorno a tutti Avrei bisogno di fare questo esercizio su un impianto di adduzione idrica. Non riesco ad impostarlo, o meglio, non riesco a capire come applicare Bernoulli con il serbatoio B tra l'utenza ed il serbatoio A. Un impianto di adduzione idrica (figura 1) è composto da una pompa che, prelevando l’acqua da un serbatoio con pressione 1,5 bar (A), la convoglia ad un’utenza a pressione atmosferica (U) dotata di opportuna valvola. La regolazione della portata, di tipo misto, è ...

Ho alcuni esercizi nelle dispense di analisi matematica con alcune parti che non ho capito, max e min tra due funzioni. Ho chiesto al prof come funzionano ma mi ha solo detto che son il massimo e il minimo fra funzioni Ad esempio $ min{1-x,2x-1} - |3-x|>= 1-x$ Come si risolvono esercizi del genere??

Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi della seguente funzione nel suo insieme di definizione $ f(x,y)=x^2-4xy^2+y^4 $ Ho determinato e posto uguale a zero le due derivate parziali: $ { ( f_x=2x-4y^2=0 ),( f_y=-8xy+4y^3=0 ):} $ $ { ( 2(x-2y^2)=0 ),( 4y(y^2-2x)=0 ):} $ Dalla prima risulta $ x=2y^2 $ che, sostituito nella seconda dà $ -12y^3=0->y=0 $. L'unico punto critico è $ (0,0) $. Ho calcolato le derivate parziali seconde e costruito l'Hessiana: $ H_{f}(x,y)=( ( 2 , -8y ),( -8y , -8x+12y^2 ) ) ->detH_{f}(x,y)=2(-8x+12y^2)-(8y)^2 $ Il determinante dell'Hessiana è nullo ...

Buongiorno, data la funzione f(x)= x³+x-3 devo verificare in quale di questi intervalli [-1;0]; [0;1]; [1;2]; [2;3] ammette uno zero. Quale procedimento posso utilizzare?

Salve a tutti, Sto cercando di capire piu' a fondo il concetto di potenza $P$ come rapporto fra il lavoro meccanico $L$ compiuto e l'intervallo di tempo durante il quale avviene il lavoro $L$: $$P = \frac {L}{\Delta t}$$. Qui tutto chiaro. Supponiamo che il lavoro sia positivo (energia viene ceduta al sistema). Un'altra definizione equivalente di potenza e' $$P = F v$$ cioe' il prodotto fra ...

Ciao, riflettendo sull'ottimizzazione di una libreria sui "big int" da me scritta, mi sono focalizzato sul fatto che la funzione di divisione (che sfrutta più o meno l'algoritmo della classica divisione in colonna insegnata a scuola) calcola contemporaneamente sia il quoziente che il resto, per poi ritornare l'uno o l'altro in base alla richiesta; quindi se per uno stesso dividendo e divisore mi servono sia quoziente che resto, dovrò eseguire la funzione due volte. Detto ciò, prima di ...

Ciao a tutti ho a che fare con questo esercizio Una temperatura $T$ di un'incubatrice è misurata ed ha densità $exp(1/30)$.Se $T>25$ gradi la prob che l'uovo si schiuda è $0.85$,mentre scende allo 0.65 se $20<T<=25$ e si riduce a $0.1$ se $T<=20$ 150 uova vengono messe nell'incubatrice e sia $S_150$ la v.a che esprime il numero di uova che si schiudono.Ogni uovo si schiude indipendentemente ...

Salve, Ho trovato una prova d'esame di un'università che un esercizio di questo tipo: "Calcolare la derivata della funzione F(x) = \( \int_x^0\ e^t cos(t) dt \)" Inizialmente ho provato a risolvere l'integrale, ma per le conoscenze che ho è impossibile da fare. Allora ,considerando che l'operazione di integrazione è l'inversa dell'operazione di derivazione, ho derivato,ciò fa "annullare" l'integrale (?). Quindi il risultato finale sarebbe \( e^t cos(t) dt \), da valutare in x e 0 --> ...

ho questo integrale gia risolto: $ int e^(e^x +x $ qui nell'esercizio fa la sostituzione e pone $ t=e^x $ e poi fa: $ int e^t $ e lo risolve normalmente ottenendo $ e^t $ poi risostituisce e ottiene alla fine $ e^(e^x )+c $ non capisco quando sostituisce all'inizio che fine fa quel +x,cioè $ int e^(e^x +x $ non dovrebbe essere $ t+x $ ? Grazie