Limite funzione in due variabili

[TS778LB]

Stabilire se la seguente funzione è continua in $ (0,0) $
$ f(x,y)={ ( \frac{xy^3}{x^2+y^4}+x if(x,y)\ne(0,0) ),( 0if(x,y)=(0,0) ):} $
Ho ristretto la funzione alle rette passanti per l'origine ed ho verificate che i limiti esistono e sono uguali:
$ f(x,0)=x->0 $
$ f(0,y)=0 $
$ f(x,mx)=\frac{m^3x^4}{x^2+m^4x^4}+x->0 $
ed ho provato anche su diverse curve ( $ x=my^2,y=mx^2 $ ) ottenendo lo stesso risultato.
Sono passato in coordinate polari per maggiorare:
$ |\frac{\rho^4cos\thetasen^3\theta}{\rho^2cos^2\theta+\rho^4sen^4\theta}+\rhocos\theta|\le|\frac{\rho^2cos\thetasen^3\theta}{cos^2\theta+\rho^2sen^4\theta}|+|\rhocos\theta| $
Volendo eliminare un addendo dal denominatore del primo termine, mi ritrovo sempre con una dipendenza da $ \theta $ che non mi porta alla funzione radiale infinitesima che mi serve. A questo punto non so se il limite esista e non riesco a maggiorare oppure se non ho provato sufficienti restrizioni per provare che il limite non esiste.
Mi servirebbe un suggerimento.
Grazie mille in anticipo.

[Mephlip]

Ciao! Chiaramente $x \to 0$ per $(x,y) \to 0$, quindi per dimostrare che $f$ è continua in $(0,0)$ è sufficiente dimostrare che $\frac{xy^3}{x^2+y^4} \to 0$ per $(x,y) \to (0,0)$. A tal proposito, dimostra che per ogni $x\in\mathbb{R}$ e per ogni $y\in\mathbb{R}$ risulta $x^2+y^4 \ge 2|x|y^2$. Se hai problemi a dimostrare la disuguaglianza, scrivilo pure qui che ti do dei suggerimenti.

[TS778LB]

Sono riuscito a far comparire quel $ 2xy^2 $:
$ x^2+y^4=(x+y^2)^2-2xy^2 $

[pilloeffe]

Ciao TS778LB,

"TS778LB":Sono riuscito a far comparire quel $2xy^2$: [...]

Perché non semplicemente $(|x| - y^2)^2 \ge 0 $?

[TS778LB]

$ |(x^2+y^4)|=|(x-y^2)^2+2xy^2|\le(x-y^2)^2+2|x|y^2 $
Sono arrivato fino a qui. Ora come faccio a dire che $ (x^2+y^4)>=2|x|y^2 $ ?
Lo stesso polinomio mi dà problemi nel risolvere questo limite
$ lim_((x,y) -> (0,0))\frac{e^-\frac{1}{x^2+y^4}}{\sqrt(x^2+y^2 $
Non so in che modo maggiorare per provare che questo limite fa $ 0 $

[pilloeffe]

"pilloeffe":[...] $(|x|−y^2)^2 \ge 0 $

Scusa eh, prova a sviluppare il quadrato che ho scritto nel mio post precedente...

[Mephlip]

Il modo ideale è procedere come ha fatto pilloeffe.

Altrimenti, puoi notare che $0 \le (x+y^2)^2=x^2+y^4+2xy^2 \implies x^2+y^4 \ge -2xy^2 \implies -(x^2+y^4) \le 2xy^2$ e che $0 \le (x-y^2)^2=x^2+y^4-2xy^2 \implies x^2+y^4 \ge 2xy^2$.

Quindi, risulta $-(x^2+y^4) \le 2xy^2 \le x^2+y^4$; ricordando che per ogni $t \in \mathbb{R}$ e per ogni $a \ge 0$ è $|t| \le a \iff -a \le t \le a$, da $-(x^2+y^4) \le 2xy^2 \le x^2+y^4$ segue $|2xy^2| \le x^2+y^4 \implies x^2+y^4 \ge 2|x|y^2$.

Per l'altro limite, nota che quando $(x,y) \to (0,0)$ puoi assumere $-1 \le y \le 1$. Ne segue che $y^4 \le y^2$, prova ora a stimare $\exp \left(-\frac{1}{x^2+y^4}\right)$ partendo dalla disuguaglianza $y^4 \le y^2$.

[TS778LB]

$ y^4>=y^2->y^4+x^2>=x^2+y^2->\frac{1}{y^4+x^2}\le\frac{1}{y^2+x^2}->-\frac{1}{y^4+x^2}>=- \frac{1}{y^2+x^2}$
L'esponenziale in questione è decrescente dunque
$ e^-\frac{1}{y^4+x^2}\lee^-\frac{1}{y^2+x^2} =e^(-1/\rho)->0 $

[Mephlip]

Diciamo che ci sei, ma ci sono alcuni errori di distrazione. Sei partito dalla disuguaglianza al contrario, in questo caso è $y^4 \le y^2$ (perché $-1 \le y \le 1$) e non come hai scritto tu. Inoltre, l'esponenziale $e^t$ è crescente, mentre $e^{-t}$ è decrescente e quindi, se parti con una disuguaglianza avente segni meno e passi all'esponenziale volendo preservare quei segni meno, per arrivare alla disuguaglianza che ti interessa devi usare l'esponenziale crescente e non invertire il verso della disuguaglianza. Intendo dire: se hai $r \ge s$ allora $e^r \ge e^s$ e, similmente, se hai $-r \ge -s$ allora $e^{-r} \ge e^{-s}$ (perché stai applicando la crescente monotonia di $e^t$, indipendentemente dal fatto che ci siano segni meno o no), mentre se hai $r \ge s$ allora $e^{-r} \le e^{-s}$ (perché stai applicando la decrescente monotonia di $e^{-t}$); dipende solo dal "tipo" di esponenziale che applichi (che chiaramente si può ricondurre sempre al caso senza segni meno, basta moltiplicare per $-1$ e invertire il verso della disuguaglianza).

Quindi hai $y^4 \le y^2 \iff x^2+y^4 \le x^2+y^2 \iff \frac{1}{x^2+y^4} \ge \frac{1}{x^2+y^2}$; da quest'ultima, puoi dedurre direttamente (per decrescente monotonia di $e^{-t}$) che $\exp \left(-\frac{1}{x^2+y^4}\right) \le \exp \left(-\frac{1}{x^2+y^2}\right)$ oppure, sempre da $\frac{1}{x^2+y^4} \ge \frac{1}{x^2+y^2}$, puoi prima moltiplicare per $-1$ ottenendo $\frac{1}{x^2+y^4} \ge \frac{1}{x^2+y^2} \iff -\frac{1}{x^2+y^4} \le -\frac{1}{x^2+y^2}$ e ora, per crescente monotonia di $e^t$, dedurre in maniera del tutto equivalente che $\exp \left(-\frac{1}{x^2+y^4}\right) \le \exp \left(-\frac{1}{x^2+y^2}\right)$.

Occhio che poi, in coordinate polari, l'esponenziale si trasforma in $\exp\left(-\frac{1}{\rho^2}\right)$; manca una potenza $2$ al denominatore dell'esponente dell'esponenziale.