Sviluppo di Laplace.
Buonasera.
Sto leggendo la dimostrazione dello sviluppo di Laplace dalla dispense del prof. Manetti
https://www1.mat.uniroma1.it/people/man ... ineare.pdf
che si trova a pagina 187. Ci sono alcuni passaggi che non mi tornano molto.
La dimostrazione si articola cosi:
Sia $A$ una matrice di ordine $n$ a valori in $K$ e il suo determinante è definito dalla seguente formula ricorsiva
Lo sviluppo di Laplace consiste nel far vedere che
Quindi è chiaro che per $i=1$ tutto funziona. Quindi sia vera per un certo $i-1$ cioè
$Hp.$ sia $1
Si consideri l'applicazione
bisogna dimostrare che
Mi sto chiedendo ma una volta che la si è provata, questa implica la tesi ? cioè vale
Colgo l'occasione per augurarvi buon anno !
Sto leggendo la dimostrazione dello sviluppo di Laplace dalla dispense del prof. Manetti
https://www1.mat.uniroma1.it/people/man ... ineare.pdf
che si trova a pagina 187. Ci sono alcuni passaggi che non mi tornano molto.
La dimostrazione si articola cosi:
Sia $A$ una matrice di ordine $n$ a valori in $K$ e il suo determinante è definito dalla seguente formula ricorsiva
$detA:=sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(1j)detA_(1j)$
la trovate a pagina 175 delle dispense. Lo sviluppo di Laplace consiste nel far vedere che
$sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(1j)detA_(1j)=sum_(j=1)^n (-1)^(i+j) a_(ij)detA_(ij)$
per qualsiasi $i=1,...,n$. Quindi è chiaro che per $i=1$ tutto funziona. Quindi sia vera per un certo $i-1$ cioè
$Hp.$ sia $1
$sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(1j)detA_(1j)=sum_(j=1)^n (-1)^(i+j) a_(ij)detA_(ij).$
Si consideri l'applicazione
$d_i:A in M_n(K) to d_i(A):=sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(ij)detA_(ij) in K$
bisogna dimostrare che
$d_i(A)=(-1)^(i-1)detA$
Mi sto chiedendo ma una volta che la si è provata, questa implica la tesi ? cioè vale
$sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(1j)detA_(1j)=sum_(j=1)^n (-1)^(i+j) a_(ij)detA_(ij)$
per ogni $i$Colgo l'occasione per augurarvi buon anno !
Risposte
Sì, perché hai permutato delle righe di \(A\)!
P.S.: buon anno positivo anche a te!
P.S.: buon anno positivo anche a te!
Grazie j18eos ! forse ci sono.
Il senso della dimostrazione: Verificare che la formula del determinante definita ricorsivamente e lo sviluppo di Laplace coincidono. Questo è sicuramente vero quando lo sviluppo di Laplace viene fatto secondo la prima riga e cioè per $i=1$. Per verificare che per ogni $i$ si ha l'identità si considera la funzione
e quindi basta far vedere che $d_i(A)=(-1)^(i-1)detA$. Infatti, questa relazione ci permette di dire che il
$detA$, sviluppato secondo lo sviluppo di Laplace secondo la riga $i$, è uguale, a meno del segno, al $detA$ sviluppato secondo lo sviluppo di Laplace secondo la riga $i-1$.
Poiché per $i=1$ si ha l'identità con la formula del determinante definita ricorsivamente si ottiene la tesi.
Cosi va bene ?
Grazie per l'aiuto !
Il senso della dimostrazione: Verificare che la formula del determinante definita ricorsivamente e lo sviluppo di Laplace coincidono. Questo è sicuramente vero quando lo sviluppo di Laplace viene fatto secondo la prima riga e cioè per $i=1$. Per verificare che per ogni $i$ si ha l'identità si considera la funzione
$ d_i:A in M_n(K) to d_i(A):=sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(ij)detA_(ij) in K $ con $i=1,...,n$.
e quindi basta far vedere che $d_i(A)=(-1)^(i-1)detA$. Infatti, questa relazione ci permette di dire che il
$detA$, sviluppato secondo lo sviluppo di Laplace secondo la riga $i$, è uguale, a meno del segno, al $detA$ sviluppato secondo lo sviluppo di Laplace secondo la riga $i-1$.
Poiché per $i=1$ si ha l'identità con la formula del determinante definita ricorsivamente si ottiene la tesi.
Cosi va bene ?
Grazie per l'aiuto !
"j18eos":In che senso positivo??
P.S.: buon anno positivo anche a te!
Se non ho letto male: sì, va bene!
P.S.: positivo nell'intimo!
P.S.: positivo nell'intimo!
Grazie per il chiarimento @j18eos 
"j18eos":
P.S.: positivo nell'intimo!
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