Sistema completo di rappresentanti
Non riesco a risolvere un esercizio seppure piuttosto semplice, il testo chiede
Dunque si richiede l'esistenza di $m,n in {2n+1|n in ZZ}$
- riflessiva lo è perché aRa: na=ma se n=m
- simmetrica lo è perche per ogni a e b si ha aRb=>bRa: na=mb=>nb=ma basta che n=m
- pure transitiva poiché aRb and bRc => aRc: na=mb and bn=cm (tuttavia poiché vale la simmetrica) => na=mb and cn=bm (commutatività dell'uguale)=> na=cn (scegliendo n=m) => na=cm
Spero la transitività sia giusta (prima domanda)
Ora venendo alla seconda domanda. La mia idea era che
$[a]={b in ZZ|bn=am}$ con n e m dispari, quindi
$={b in ZZ|b=a(m/n)}$ m,n dispari, però ponendo $m/n=k in QQ$ ma non mi serve a molto
poi ho pensato di scriverla come $={b in ZZ|b=a(m/n) or a=b(n/m)}$ in modo che siano interi m/n o n/m ma anche in questo senso poi non vado molto oltre.
Inoltre non capisco come le A) e B) siano uguali, perché mi sembrano ben diverse. insomma mi sono bloccato
Ringrazio per l'aiuto.
Su Z si consideri la seguente relazione:
aRb se ∃n,m numeri interi dispari tali che an=bm
A) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è {0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}?
B) R è una relazione di equivalenza e un insieme completo di rappresentanti per le classi d'equivalenza è
{0}∪{2n⋅3 | n∈N}?
R: si entrambe (ma non riesco a giungerci)
Dunque si richiede l'esistenza di $m,n in {2n+1|n in ZZ}$
- riflessiva lo è perché aRa: na=ma se n=m
- simmetrica lo è perche per ogni a e b si ha aRb=>bRa: na=mb=>nb=ma basta che n=m
- pure transitiva poiché aRb and bRc => aRc: na=mb and bn=cm (tuttavia poiché vale la simmetrica) => na=mb and cn=bm (commutatività dell'uguale)=> na=cn (scegliendo n=m) => na=cm
Spero la transitività sia giusta (prima domanda)
Ora venendo alla seconda domanda. La mia idea era che
$[a]={b in ZZ|bn=am}$ con n e m dispari, quindi
$={b in ZZ|b=a(m/n)}$ m,n dispari, però ponendo $m/n=k in QQ$ ma non mi serve a molto
poi ho pensato di scriverla come $={b in ZZ|b=a(m/n) or a=b(n/m)}$ in modo che siano interi m/n o n/m ma anche in questo senso poi non vado molto oltre.
Inoltre non capisco come le A) e B) siano uguali, perché mi sembrano ben diverse. insomma mi sono bloccato
Ringrazio per l'aiuto.
Risposte
- riflessiva lo è perché aRa: na=ma se n=mNessuna di queste cose è quel che devi dimostrare. Per esempio per la riflessività devi trovare $n$. E per la simmetria, devi scambiare il ruolo di $n,m$, qualsiasi essi siano, non puoi prenderli uno uguale all'altro.
- simmetrica lo è perche per ogni a e b si ha aRb=>bRa: na=mb=>nb=ma basta che n=m
- pure transitiva poiché aRb and bRc => aRc: na=mb and bn=cm (tuttavia poiché vale la simmetrica) => na=mb and cn=bm (commutatività dell'uguale)=> na=cn (scegliendo n=m) => na=cm
La relazione di equivalenza poi su quale insieme è? La risposta cambia, a seconda, non trovi?
La relazione di equivalenza poi su quale insieme è? La risposta cambia, a seconda, non trovi?
Certamente e a parte questa svista di copiatura che ho corretto nel primo messaggio...
sono proprio un idiota, ho sbagliato tutto
, perdonami ci riprovo.- riflessiva lo è perché aRa: na=ma se n=m
- simmetrica: na=mb => n'b=m'a si basta prendere n'=m e m'=n
- transitiva: (na=mb e n'b=m'c => n''a=m''c)... n'b=m'c moltiplico per m => mn'b=mm'c (ma mb=na per hp)
=> n'na=m'mc (essendo m'm e n'n prodotto di dispari è dispari) => n''a=m''c
Forse ora possiamo passare alla vera domanda di apertura, se non ho fatto altri orrori.
Ti ringrazio
EDIT: correggo refuso su m', non vorrei che considerassi l'errore in questo...
Cosa è cambiato da prima?
La relazione è riflessiva perché \(1\cdot a = 1\cdot a\) e 1 è dispari.
La relazione è simmetrica perché se \(na=mb\) allora $mb=na$ (che $n,m$ siano dispari o pari non cambia questa relazione)
La relazione è transitiva, perché se $na=mb, m'b=kc$, allora $m'na=m'mb=kmc$. la coppia $(m'n, km)$ è ammissibile perché, ovviamente, il prodotto di numeri dispari è dispari.
Ora, non ho fatto un conto preciso, ma dovrebbe venire una cosa del tipo che se $a,b$ sono nella stessa classe di equivalenza allora $a-b$ è un multiplo pari di \(\gcd(a,b)\).
La relazione è riflessiva perché \(1\cdot a = 1\cdot a\) e 1 è dispari.
La relazione è simmetrica perché se \(na=mb\) allora $mb=na$ (che $n,m$ siano dispari o pari non cambia questa relazione)
La relazione è transitiva, perché se $na=mb, m'b=kc$, allora $m'na=m'mb=kmc$. la coppia $(m'n, km)$ è ammissibile perché, ovviamente, il prodotto di numeri dispari è dispari.
Ora, non ho fatto un conto preciso, ma dovrebbe venire una cosa del tipo che se $a,b$ sono nella stessa classe di equivalenza allora $a-b$ è un multiplo pari di \(\gcd(a,b)\).
Aspetta @megas_archon prima di passare alla seconda domanda...
Mi sembra quello che ho scritto io riscritto in modo diverso, ho usato infatti n,m,n',m',n'',m'' cioè volta per volta n,m diversi. Credo di non capire perché dici essere ancora sbagliata.
PS: mi sono accorto di un refuso su m', non vorrei considerassi quello come errore. Ho sbagliato tasto
************
Per quanto riguarda il sistema completo di rappresentanti non riesco però a capire come giungere a tali scritture: ${0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}$ oppure la ${0}∪{2n⋅3 | n∈N}$. Non riesco proprio a trovare come riesprimerle così.
"megas_archon":
Cosa è cambiato da prima?
La relazione è riflessiva perché \(1\cdot a = 1\cdot a\) e 1 è dispari.
La relazione è simmetrica perché se \(na=mb\) allora $mb=na$ (che $n,m$ siano dispari o pari non cambia questa relazione)
La relazione è transitiva, perché se $na=mb, m'b=kc$, allora $m'na=m'mb=kmc$. la coppia $(m'n, km)$ è ammissibile perché, ovviamente, il prodotto di numeri dispari è dispari.
Mi sembra quello che ho scritto io riscritto in modo diverso, ho usato infatti n,m,n',m',n'',m'' cioè volta per volta n,m diversi. Credo di non capire perché dici essere ancora sbagliata.
PS: mi sono accorto di un refuso su m', non vorrei considerassi quello come errore. Ho sbagliato tasto
************
Per quanto riguarda il sistema completo di rappresentanti non riesco però a capire come giungere a tali scritture: ${0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}$ oppure la ${0}∪{2n⋅3 | n∈N}$. Non riesco proprio a trovare come riesprimerle così.
Dato che sono alle prese con lo studio di algebra 1 mi sono imbattuto ricercando la parola chiave "sistema completo di rappresentanti" in questo thread.
Ho provato a svolgere l'esercizio che nella prima parte mi viene vedendo le risposte, ma mi blocco anche io nella riscrittura di
Non essendoci però risposta non so come fare, pegasu hai poi saputo risponderti? O chiedo a chiunque abbia una risposta di aiutarmi, lo ringrazio moltissimo.
Ho provato a scrivere esplicitamente la forma di una classe di equivalenza ma alla fine non riesco a rimaneggiarla per giungere a queste due scritture.
Ho provato a svolgere l'esercizio che nella prima parte mi viene vedendo le risposte, ma mi blocco anche io nella riscrittura di
"pegasu":
Per quanto riguarda il sistema completo di rappresentanti non riesco però a capire come giungere a tali scritture: ${0}∪{2n⋅(2n+1) | n∈N}$ oppure la ${0}∪{2n⋅3 | n∈N}$. Non riesco proprio a trovare come riesprimerle così.
Non essendoci però risposta non so come fare, pegasu hai poi saputo risponderti? O chiedo a chiunque abbia una risposta di aiutarmi, lo ringrazio moltissimo.
Ho provato a scrivere esplicitamente la forma di una classe di equivalenza ma alla fine non riesco a rimaneggiarla per giungere a queste due scritture.
Basta usare la definizione di "sistema completo di rappresentanti"
Cioè un sottoinsieme Z tale che contenga un rappresentante per ogni classe?
Perché sì sono partito da lì e sfruttando l'espressione della data classe, ma non riesco a trovare quelle riscritture. Non riesco cioè pragmaticamente a ridurmi a quelle.
Perché sì sono partito da lì e sfruttando l'espressione della data classe, ma non riesco a trovare quelle riscritture. Non riesco cioè pragmaticamente a ridurmi a quelle.
Se $X$ è un insieme e $R$ una relazione di equivalenza su $X$, un sistema completo di rappresentanti è un sottoinsieme $T$ di $X$ con la proprietà che per ogni classe di equivalenza \([x] \in X/R\), l'intersezione \(T\cap [x]\) (guardando \([x]\) come un elemento dell'unica partizione di $X$ identificata da $R$) abbia esattamente un elemento.
Ah ok ora mi è chiaro perché dicevi fosse così immediato, io conoscevo solo quella data sopra. In effetti ora riesco anche a capire che sono correlate quella detta da me e da te riportata.
Però mi piacerebbe rigirare un po' la domanda, dato che ormai mi sono incaponito a voler "costruire" quegli insiemi e non solo mostrare che rispettano l'essere sistema completo di rappresentanti...
In poche parole mi chiedo, se non mi fossero dati a priori e io volessi scrivere quegli insiemi del testo da zero, come faccio? Credo dovrei partire dalla mia definizione unito a come è una classe di equivalenza. Ma mi blocco non riuscendo in alcun modo a pervenire a nessuna di quelle due scritture.
Però mi piacerebbe rigirare un po' la domanda, dato che ormai mi sono incaponito a voler "costruire" quegli insiemi e non solo mostrare che rispettano l'essere sistema completo di rappresentanti...
In poche parole mi chiedo, se non mi fossero dati a priori e io volessi scrivere quegli insiemi del testo da zero, come faccio? Credo dovrei partire dalla mia definizione unito a come è una classe di equivalenza. Ma mi blocco non riuscendo in alcun modo a pervenire a nessuna di quelle due scritture.
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