Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
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Trovare un polinomio [tex]P(x)[/tex] a coefficienti interi senza radici intere ma tale che per ogni primo [tex]p[/tex] il polinomio ridotto modulo [tex]p[/tex] ammetta radici in [tex]\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[/tex].
Domanda bonus: trovare un polinomio con le caratteristiche esposte il cui gruppo di Galois su [tex]\mathbb{Q}[/tex] sia [tex]S_3[/tex].
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Questo è un esercizio ispirato dalla lettura dell'articolo "Polynomials with roots modulo every integer" di Daniel Berend e ...
Ciao
Vi propongo un nuovo problemino.
Sia [tex]n \geq 3[/tex] un intero. Sia [tex]K(n,2)[/tex] il grafo (semplice) i cui vertici sono i [tex]\binom{n}{2}[/tex] sottoinsiemi di [tex]\{1,...,n\}[/tex] di [tex]2[/tex] elementi, e due vertici sono collegati da un arco se sono insiemisticamente disgiunti, cioè se la loro intersezione è l'insieme vuoto.
Per esempio il grafo [tex]K(5,2)[/tex] è rappresentabile come segue:
Si tratta di un caso particolare della famiglia dei "grafi di ...
Un classico... C'è gente che ha scritto paragrafi e capitoli di libri su quest'argomento.
Le indicazioni bibliografiche le fornirò dopo la soluzione.
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A tutti gli studenti di Analisi I è noto il seguente semplice criterio di confronto asintotico per stabilire la convergenza/divergenza di una serie a termini (definitivamente) non negativi:
Sia [tex]\sum a_n[/tex] una serie reale a termini (definitivamente) non negativi con [tex]$\lim_n a_n=0$[/tex].
Allora:
i) se ...
Salve a tutti, il problema posto da me è il seguente:
Determinare tutte le coppie ( x;y) di numeri interi tali che :
X^4 + 3X^2Y^2 + 9X^4 = 12^2006
Accetto di tutto, dalla soluzione completa a semplici suggerimenti..Buon lavoro.
ps: non sono in possesso della soluzione, ho rimediato l esercizio sul sito della sant'anna di pisa ( ingegneria )
Sia [tex]A[/tex] una matrice complessa [tex]n \times n[/tex]. Scelta una norma [tex]\lVert \cdot \rVert[/tex] su [tex]\mathbb{C}^n[/tex], usiamo lo stesso simbolo per indicare la corrispondente norma di matrice, ovvero
[tex]$\lVert A \rVert= \max_{ 0\ne x \in \mathbb{C}^n } \frac{ \lVert Ax \rVert}{\lVert x \rVert}$[/tex].
Nell'ipotesi che [tex]A[/tex] sia non singolare è definita allora anche la norma della matrice inversa e il numero di condizionamento
[tex]\kappa(A)=\lVert A \rVert \lVert A^{-1} \rVert[/tex].
E' facile mostrare che valgono le ...
Inauguriamo la sezione con un bel quesito di probabilità, ritenuto da me di livello medio (accessibile a chiunque sappia un minimo minimo di probabilità), ma molto divertente. [Questo è un esercizio tratto da "Probability", di Shiryaev. La soluzione è nota.]
Supponiamo di avere un piano su cui si trovano due rette parallele, $l$ ed $r$, con $d(r,l)=1$ (distanza tra le rette). Supponiamo di avere un ago di lunghezza unitaria e lanciarlo tra(*) queste due ...
Dopo una discussione tra moderatori e amministratori, abbiamo deciso di creare questa nuova sezione.
Lo scopo è quello di avere uno spazio di proposta, discussione e risoluzione di problemi che, o per originalità, o per livello più alto rispetto a quanto non sia richiesto in un tipico ambito universitario, meritano di essere segnalati in una sezione ad hoc.
Insieme al problema è gradito che si riporti la fonte, sia essa un libro, una dispensa, un sito esterno o un esame.
Oltre che per ...
Questo è il testo del problema:
"In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4"
Questa è la mia risoluzione:
1) La circonferenza massima, tangente a tutti e quattro i lati, ha perimetro:
$2p_(max)=2*pi*(1/2)=pi$
Se le circonferenze fossero solo massime, per raggiungere un perimetro di 10 ne occorrerebbero $10/pi=3,18..$, più di ...
Salve a tutti.
Un problema che trovo molto interessante in teoria dei gruppi è il seguente: discutere la semplicità di un gruppo finito G dato il suo ordine. Ne abbiamo parlato molto spesso sul forum: per esempio uno, due, tre, quattro, cinque, e forse il più bello di tutti: sei (a proposito di questo, il numero 264 è interessante).
Ci ho pensato recentemente e sto scrivendoci su qualcosa. I numeri più divertenti ...
Un esercizietto sulle metriche.
Niente di che, tanto per divertirsi un po' sotto il sole ferragostano.
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Alcuni prerequisiti:
Sia [tex]$X$[/tex] un insieme non vuoto.
Un'applicazione [tex]$d:X\times X\to [0,+\infty[$[/tex] è detta distanza su [tex]$X$[/tex] se e solo se essa gode delle seguenti tre proprietà:
i) per ogni [tex]$x,y\in X$[/tex], [tex]$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$[/tex];
ii) per ogni [tex]$x,y\in X$[/tex], [tex]$d(x,y)=d(y,x)$[/tex];
ii) per ogni ...
Un esercizio fondamentalmente di Analisi II.
I concetti introduttivi (ed anche un po' il problema) forse non sono esposti in maniera troppo formale, ma quello che mi importa qui non è tanto la massima precisione, quanto fornire un'idea.
Se qualcuno volesse mettere a posto i dettagli, gliene sarei molto grato.
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Alcune definizioni:
Sia [tex]$E\subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] un insieme piano limitato.
Si dice che [tex]$E$[/tex] è di classe [tex]$C^k$[/tex] se e solo se ...
[xdom="Fioravante Patrone"]Ricopio qui quanto detto da elgiovo, che aveva sollevato il problema di questo thread (io ho "retrodatato" la divisione fra prima e seconda parte per comodità di accesso al database):
Questo thread è la continuazione di "Maratona di problemi", che avendo raggiunto 50 pagine non può più contenere post.[/xdom]
Un esercizietto facile per chi prepara Analisi II.
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Ricordo una definizione:
Assegnato un intervallo [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex], una funzione [tex]$F:I \to \mathbb{R}$[/tex] è detta (uniformemente) hölderiana in [tex]$I$[/tex] se esistono un numero [tex]$\alpha \in ]0,1]$[/tex] ed una costante [tex]$L\geq 0$[/tex] tali che:
[tex]$\forall x,y\in I,\ |F(x)-F(y)|\leq L\ |x-y|^\alpha$[/tex];
in tal caso [tex]$\alpha$[/tex] è anche detto esponente di Hölder di [tex]$F$[/tex].
Se ...
Dato [tex]T>0[/tex], sia [tex]f:[0,T]\to\mathbb{R}[/tex] continua e tale che [tex]0\le f(x)\le 1,\,\, \forall x \in [0,T][/tex]. Si provi che:
[tex]\displaystyle\int_0^T tf(t)\,dt \ge \frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^T f(t)\,dt\right)^2.[/tex]
"Dire per quali interi positivi $n$ e per quali numeri reali $q$ la somma $1+q+q^2+...+q^n$ è positiva."
Se $q>=0$ la somma data è positiva, essendo $q^x>0$ per ogni $x$ reale e $q$ positivo, e quindi lo è indipendentemente da $n$.
Se invece $q<0$, la somma totale è positiva se la somma dei $q^(2t+1)$ è minore, in valore assoluto, alla somma dei $q^(2t)$.
Non so come ...
Salve! Diciamo che non mi sono fatta pregare per proporre un altro esercizio..
"Costruire un polinomio (a coefficienti reali) $P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ verificante le proprietà:
a) $P(x,y)=0$ soltanto per $x=y=0$,
b) se $x$ e $y$ sono due numeri interi allora anche $P(x,y)$ è un intero.
Determinare poi il massimo della quantità $b^2-4ac$ al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti."
Allora, ...
Propongo il seguente esercizio che trovo molto bello. Vorrei anche conoscere le vostre reazioni
Fonte: "Introduction to commutative algebra", autori M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Addison-Wesley publishing company, pagina 14 (esercizio 26 del capitolo 1, "Rings and Ideals").
Sia $X$ uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Consideriamo l'anello $C(X)$ delle funzioni continue $X to RR$, con somma e prodotto definite per componenti. Sia ...
"Sia $ABC$ un triangolo isoscele di base $BC$ con l'angolo al vertice $BAC$ minore di 60°. Si costruisca un altro triangolo $PQR$, di base $QR$, circoscritto e simile ad $ABC$, tale che il punto $A$ appartenga al segmento $QR$ e si abbia $QA= 2*AR$."
Premettendo che con le costruzioni geometriche mi ci prendo davvero a ****tti, ho tentato di iniziare a ragionarci.
Traccio la ...
"Sia dato il polinomio $F(x)=x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_0$ con coefficienti $a_i$ interi. Supponiamo che esistano quattro interi distinti $a$, $b$, $c$, $d$, tali che $F(a)=F(b)=F(c)=F(d)=7$. Dimostrare che non esiste alcun intero $k$ tale che $F(k)=12$".
Risolvendo questo problema, mi è tornato in mente un esercizio delle Olimpiadi della Matematica che fa così:
Dato il polinomio $p(x)$ a coefficienti interi si sa ...
"Tizio si trova nella sua abitazione e deve prendere un treno che parte dalla stazione esattamente tra mezz'ora. Sotto la sua abitazione c'è la fermata di un autobus che lo porta alla stazione in 20 minuti. A 5 minuti di cammino vi è una fermata da cui passano altre due linee di autobus che lo possono portare alla stazione in 18 minuti.
Tizio non conosce l'orario di passaggio degli autobus, ma sa che su ognuna delle linee, gli autobus passano ogni quarto d'ora.
Quale strategia conviene a ...
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