SNS anno 2006
Questo è il testo del problema:
"In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4"
Questa è la mia risoluzione:
1) La circonferenza massima, tangente a tutti e quattro i lati, ha perimetro:
$2p_(max)=2*pi*(1/2)=pi$
Se le circonferenze fossero solo massime, per raggiungere un perimetro di 10 ne occorrerebbero $10/pi=3,18..$, più di 3. Di conseguenza le circonferenze devono essere almeno 4.
2) Dimostro che, se le circonferenze sono 4, è impossibile che esse siano tra loro esterne.
Il raggio medio delle circonferenze è $2*pi*r_(medio)=10/4$, $r_(medio)=5/(pi*4)=0,3975$
Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente)
$(4*r_(medio))*2=3,18$, lunghezza maggiore del segmento interno massimo del quadrato, cioè la diagonale, pari a $sqrt2$. Perciò è impossibile.
Tre circonferenze allineate occuperebbero $(3*r_(medio))*2=2,385$, ancora maggiore.
Due circonferenze allineate $(2*r_(medio))*2=1,59$, di nuovo maggiore.
Di conseguenza, se le circonferenze sono 4, nessuna di esse può essere esterna a nessun'altra, poiché non esiste alcun segmento interno al quadrato lungo abbastanza da contenere i due diametri. Quindi, ci sarà una parte di spazio comune a tutte e quattro le circonferenze, e qualunque retta che passi per tale spazio interseca tutte e quattro le circonferenze.
Se generalizziamo questo ragionamento $r_(medio)=5/(pi*n)$, con $n$ il numero di circonferenze.
Chiamano $x$ il numero di circonferenze che possono allinearsi:
$2*(5/(pi*n))*x=sqrt2$
$x=(sqrt2*pi/10)*n=0,444*n$
Affinchè $x$ sia almeno uguale a 2, $0,444*n=2$, $n=4,5$, le circonferenze devono essere almeno 5. Due di queste circonferenze possono essere allineate, ma devono intersecarsi ciascuna con le altre 3. Perciò ci saranno due regioni di spazio comuni a quattro circonferenze, per il quale spazio può passare la retta che le interseca.
E così via al crescere di $n$.
Che ne pensate? Sinceramente, non sono molto convinta del ragionamento, a causa dell'introduzione del "raggio medio", che mi lascia un po' perplessa. Grazie mille!
"In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4"
Questa è la mia risoluzione:
1) La circonferenza massima, tangente a tutti e quattro i lati, ha perimetro:
$2p_(max)=2*pi*(1/2)=pi$
Se le circonferenze fossero solo massime, per raggiungere un perimetro di 10 ne occorrerebbero $10/pi=3,18..$, più di 3. Di conseguenza le circonferenze devono essere almeno 4.
2) Dimostro che, se le circonferenze sono 4, è impossibile che esse siano tra loro esterne.
Il raggio medio delle circonferenze è $2*pi*r_(medio)=10/4$, $r_(medio)=5/(pi*4)=0,3975$
Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente)
$(4*r_(medio))*2=3,18$, lunghezza maggiore del segmento interno massimo del quadrato, cioè la diagonale, pari a $sqrt2$. Perciò è impossibile.
Tre circonferenze allineate occuperebbero $(3*r_(medio))*2=2,385$, ancora maggiore.
Due circonferenze allineate $(2*r_(medio))*2=1,59$, di nuovo maggiore.
Di conseguenza, se le circonferenze sono 4, nessuna di esse può essere esterna a nessun'altra, poiché non esiste alcun segmento interno al quadrato lungo abbastanza da contenere i due diametri. Quindi, ci sarà una parte di spazio comune a tutte e quattro le circonferenze, e qualunque retta che passi per tale spazio interseca tutte e quattro le circonferenze.
Se generalizziamo questo ragionamento $r_(medio)=5/(pi*n)$, con $n$ il numero di circonferenze.
Chiamano $x$ il numero di circonferenze che possono allinearsi:
$2*(5/(pi*n))*x=sqrt2$
$x=(sqrt2*pi/10)*n=0,444*n$
Affinchè $x$ sia almeno uguale a 2, $0,444*n=2$, $n=4,5$, le circonferenze devono essere almeno 5. Due di queste circonferenze possono essere allineate, ma devono intersecarsi ciascuna con le altre 3. Perciò ci saranno due regioni di spazio comuni a quattro circonferenze, per il quale spazio può passare la retta che le interseca.
E così via al crescere di $n$.
Che ne pensate? Sinceramente, non sono molto convinta del ragionamento, a causa dell'introduzione del "raggio medio", che mi lascia un po' perplessa. Grazie mille!
Risposte
"elios":Non mi convince questa affermazione; dal calcolo che fai sembra che per "circonferenze allineate" intendi circonferenze i cui centri sono allineati. Come garantisci che circonferenze tangenti esternamente siano allineate?
Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente) $(4*r_(medio))*2=3,18$
"elios":
In un quadrato di lato 1 sono disposte alcune circonferenze; la somma dei loro perimetri è 10.
1) Dimostrare che le circonferenze date sono almeno 4;
2) Dimostrare che esiste una retta che ne interseca almeno 4.
Mi pregio di proporre una soluzione per il punto 2).
Supponiamo per assurdo che ogni retta interseca chi al più 3 circonferenze. Sia $m$ un intero positivo; consideriamo un fascio $\Phi$ di rette parallele ad un fissato lato del quadrato distanti tra loro di $1/m$. Tra queste, esattamente $m+1$ rette intersecano il quadrato.
Siano $\gamma_1,\ldots,\gamma_n$ le $n$ circonferenze del quadrato; se $r_i$ è il raggio di $\gamma_i$, allora per ipotesi
$\sum_{i=1}^nr_i=5/\pi$.
Per ogni $i$ sia $k_i$ il numero di rette del fascio $\Phi$ che intersecano $\gamma_i$. Dato che assumiamo che ognuna di queste rette interseca al più tre circonferenze, si ha
$\sum_{i=1}^nk_i\leq 3(m+1)$.
D'altra parte, se $\gamma_i$ interseca $k_i$ rette allora
$2r_i<{k_i+1}/m$.
Dunque si ha
$5/\pi=\sum_{i=1}^nr_i<\sum_{i=1}^n{k_i+1}/{2m}\leq {3(m+1)+n}/{2m}$.
Poiché $m$ è arbitrario e poiché ${3(m+1)+n}/{2m}\to 3/2$ per $m\to \infty$ si ha
$5/\pi\leq 3/2$
ossia $3\pi\geq 10$ - contraddizione.
"ficus2002":Non mi convince questa affermazione; dal calcolo che fai sembra che per "circonferenze allineate" intendi circonferenze i cui centri sono allineati. Come garantisci che circonferenze tangenti esternamente siano allineate?[/quote]
[quote="elios"]Le quattro circonferenze allineate occuperebbero (se fossero tangenti esternamente) $(4*r_(medio))*2=3,18$
Quel "tangenti esternamente" era per prendere il caso di minima distanza occupata da delle circonferenze allineate ESTERNE, non intersecanti in realtà. Cioè il calcolo che faccio è il valore minimo che le circonferenze allineate occupano, valore che si ottiene se sono tutte tangenti.
Molto bella la tua soluzione, ficus2002, non avrei mai pensato di inserire un fascio di rette.
I miei complimenti, per quello che valgono.
Una cosa comunque volevo dire.
Dici che
$2r_i<\frac{k_i+1}{m}$
Non è che forse è meglio scrivere $frac{k_i+2}{m}$, ovvero sostituire l'uno col due?
Per capirci, considera
dove le due rette all'estremità nn toccano per poco.
Allora il diametro $2r$ vale
$2r=k_i/m+x+y$ dove $x,y$ sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m).
Vedi infatti che $x+y$ arriva fino a $1/m+1/m=2/m$ senza toccarlo
Non cambia nulla ai fini del conto. C'è qualche motivo per cui è sufficiente mettere $k_i+1$ e non $+2$ ?
Ciao!
I miei complimenti, per quello che valgono.
Una cosa comunque volevo dire.
Dici che
$2r_i<\frac{k_i+1}{m}$
Non è che forse è meglio scrivere $frac{k_i+2}{m}$, ovvero sostituire l'uno col due?
Per capirci, considera
dove le due rette all'estremità nn toccano per poco.
Allora il diametro $2r$ vale
$2r=k_i/m+x+y$ dove $x,y$ sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m).
Vedi infatti che $x+y$ arriva fino a $1/m+1/m=2/m$ senza toccarlo
Non cambia nulla ai fini del conto. C'è qualche motivo per cui è sufficiente mettere $k_i+1$ e non $+2$ ?
Ciao!
"Steven":
Molto bella la tua soluzione, ficus2002, non avrei mai pensato di inserire un fascio di rette.
I miei complimenti, per quello che valgono.
grazie
"Steven":
Allora il diametro $2r$ vale
$2r=k_i/m+x+y$ dove $x,y$ sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m).
Vedi infatti che $x+y$ arriva fino a $1/m+1/m=2/m$ senza toccarlo
Non cambia nulla ai fini del conto. C'è qualche motivo per cui è sufficiente mettere $k_i+1$ e non $+2$ ?
Se non sbaglio dovrebbe essere
$2r_i={k_i-1}/m+x+y$ dove $x,y$ sono i due pezzettini che mancano (i quasi 1/m)
e dove il $k_i-1$ è giustificato dal fatto che i pezzi di lunghezza $1/m$ sono $k_i-1$.
"ficus2002":
e dove il $k_i-1$ è giustificato dal fatto che i pezzi di lunghezza $1/m$ sono $k_i-1$.
Ecco, io non avevo considerato questo fatto (aveto tenuto fermo il numeratore a $k_i$).
E' corretto il tuo risultato allora.
Grazie per il chiarimento, buon fine settimana!
"Steven":Di niente, buon fine settimana!
Grazie per il chiarimento, buon fine settimana!
"ficus2002":
Per ogni $i$ sia $k_i$ il numero di rette del fascio $\Phi$ che intersecano $\gamma_i$. Dato che assumiamo che ognuna di queste rette interseca al più tre circonferenze, si ha
$\sum_{i=1}^nk_i\leq 3(m+1)$.
Scusami puoi spiegarmi come hai scritto questa disequazione? Ho capito quello che significa e quello a cui porta, ma non ho capito come l'hai costruita. Grazie mille.
"elios":Scusami puoi spiegarmi come hai scritto questa disequazione? Ho capito quello che significa e quello a cui porta, ma non ho capito come l'hai costruita. Grazie mille.
[quote="ficus2002"]$\sum_{i=1}^nk_i\leq 3(m+1)$.
[/quote]La quantità $\sum_{i=1}^nk_i$ indica il numero totale di intersezioni tra le $n$ circonferenze e le $m+1$ rette del fascio che intersecano il quadrato.Il numero massimo di intersezioni tra le circonferenze e le rette è $3(m+1)$ in quanto ogni retta interseca al più tre circonferenze.
Ho capito, grazie mille!!
Mi è sorto un dubbio.
Le rette del fascio distano tutte tra loro $1/m$, di conseguenza $m+1$ rette intersecano il quadrato, solo se una retta è coincidente con il lato del quadrato. Se invece la prima retta vicina al quadrato è ad una distanza minore di $1/m$ da esso, sono $m$ le rette ad intersecare il quadrato, giusto?
Oltretutto il fatto che si sia ipotizzato che le rette siano parallele al lato del quadrato, non esclude il caso in cui non lo siano? Oppure si può generalizzare facilmente?
Le rette del fascio distano tutte tra loro $1/m$, di conseguenza $m+1$ rette intersecano il quadrato, solo se una retta è coincidente con il lato del quadrato. Se invece la prima retta vicina al quadrato è ad una distanza minore di $1/m$ da esso, sono $m$ le rette ad intersecare il quadrato, giusto?
Oltretutto il fatto che si sia ipotizzato che le rette siano parallele al lato del quadrato, non esclude il caso in cui non lo siano? Oppure si può generalizzare facilmente?
"elios":Si, esattamente.
Le rette del fascio distano tutte tra loro $1/m$, di conseguenza $m+1$ rette intersecano il quadrato, solo se una retta è coincidente con il lato del quadrato. Se invece la prima retta vicina al quadrato è ad una distanza minore di $1/m$ da esso, sono $m$ le rette ad intersecare il quadrato, giusto?
"elios":
Oltretutto il fatto che si sia ipotizzato che le rette siano parallele al lato del quadrato, non esclude il caso in cui non lo siano? Oppure si può generalizzare facilmente?
Probabilmente, si può generalizzare la dimostrazione per un qualunque fascio di rette parallele; penso, però, che la scelta di rette parallele ad un lato del quadrato sia la più comoda.
Quindi, non è necessario fare il ragionamento con $m$ rette che intersecano il quadrato o con le rette non parallele al lato, perché basta dimostrare che per uno specifico tipo di rette non è possibile che si incontrano solo 3 circonferenze, giusto?
"elios":Certamente, è possibile che la dimostrazione possa essere condotta anche utilizzando altre famiglie di rette.
Quindi, non è necessario fare il ragionamento con $m$ rette che intersecano il quadrato o con le rette non parallele al lato, perché basta dimostrare che per uno specifico tipo di rette non è possibile che si incontrano solo 3 circonferenze, giusto?
Ma non è meglio un bel pigeonhole? La lunghezza totale dei diametri che si estendono nell'asse x è $10/\pi>3$ . Quindi esiste sicuramente un punto per cui una retta perpendicolare alla x troverebbe 4 cerchi
"atat1tatama":Interessante; esplicita pure il tuo ragionamento
Ma non è meglio un bel pigeonhole? La lunghezza totale dei diametri che si estendono nell'asse x è $10/\pi>3$ . Quindi esiste sicuramente un punto per cui una retta perpendicolare alla x troverebbe 4 cerchi
Ciao a tutti, ho appena letto il topic e sono riuscito a seguirlo solo fino ad un certo punto. La mia idea era questa: le circonferenze devono essere per forza una interna all'altra (una sorat di cerchi concentrici, anche se il centro può ariare di poco volendo), perché non esistono circonferenze esterne che in un quadrato di lato 1 abbiano un perimetro totale di 10 (questo non lo so dimostrare, lo si vede serimentalmente).
Quindi abbiamo una circonferenza tangente al quadrato che misura:
1·π=3,14 (e qui non capisco cosa c'entrava il 2 di ficus 2002)
e poi, calcolando che le altre saranno più piccole, anche considerandole più piccole di pochissimo: 10/4=3,18, quindi sono 3 più una circonferenza molto più piccolo di 0.45 di diametro (come minimo).
Poi, se sono concentriche, è normale che la retta li intersechi tutte,
Se il mio ragionamento è sbaliato, mi potreste spiegare il perché?
Ciao e grazie
Quindi abbiamo una circonferenza tangente al quadrato che misura:
1·π=3,14 (e qui non capisco cosa c'entrava il 2 di ficus 2002)
e poi, calcolando che le altre saranno più piccole, anche considerandole più piccole di pochissimo: 10/4=3,18, quindi sono 3 più una circonferenza molto più piccolo di 0.45 di diametro (come minimo).
Poi, se sono concentriche, è normale che la retta li intersechi tutte,
Se il mio ragionamento è sbaliato, mi potreste spiegare il perché?
Ciao e grazie
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