[Ammissione S.Anna] Equazione quarto grado
Salve a tutti, il problema posto da me è il seguente:
Determinare tutte le coppie ( x;y) di numeri interi tali che :
X^4 + 3X^2Y^2 + 9X^4 = 12^2006
Accetto di tutto, dalla soluzione completa a semplici suggerimenti..Buon lavoro.
ps: non sono in possesso della soluzione, ho rimediato l esercizio sul sito della sant'anna di pisa ( ingegneria )
Determinare tutte le coppie ( x;y) di numeri interi tali che :
X^4 + 3X^2Y^2 + 9X^4 = 12^2006
Accetto di tutto, dalla soluzione completa a semplici suggerimenti..Buon lavoro.
ps: non sono in possesso della soluzione, ho rimediato l esercizio sul sito della sant'anna di pisa ( ingegneria )
Risposte
intanto ti consiglio di seguire il regolamento del foum e scrivere le formule in modo appropriato, così è più facile capire.
il problema è:
[tex]$\text{Trovare }x,y \in \mathbb{N}\ \text{tali che }x^4+3x^2y^2+9y^4=12^{2006}$[/tex]
dopo le formalità, dedichiamoci al problema.
innanzitutto, conosci qualcosa sulle equazioni diofantee (ovvero le equazioni che come questa hanno incognite intere?)
il problema è:
[tex]$\text{Trovare }x,y \in \mathbb{N}\ \text{tali che }x^4+3x^2y^2+9y^4=12^{2006}$[/tex]
dopo le formalità, dedichiamoci al problema.
innanzitutto, conosci qualcosa sulle equazioni diofantee (ovvero le equazioni che come questa hanno incognite intere?)
No, è la prima volta che le sento nominare. Non fanno parte dell apprendimento scolastico giusto? Comunque sono molto ma molto disposto a impare e capire..
ps: Mi scuso per il modo " barbaro " che ho usato per scrivere le formule!
ps: Mi scuso per il modo " barbaro " che ho usato per scrivere le formule!
Il polinomio a sinistra si scompone come $(x^2-3y^2)^2+(3xy)^2$; io proverei quindi a cercare di scrivere $12^{2006}$ come somma di quadrati...
Chiaro esercizio con cui bisogna avere un minimo di mano con i passaggi a discesa.
Soluzione:
Soluzione:
ragazzi ho letto il procedimento ma non ho capito molto...qualcuno è disposto a spiegarlo in termini più semplici?
[OT] Che significa "passaggi a discesa"? [/OT]
"dissonance":
[OT] Che significa "passaggi a discesa"? [/OT]
E' il principio della discesa infinita. Correggimi se sbaglio Steven.
Uhm, in realtà non penso che la dimostrazione da me usata sia proprio una discesa infinita.
Il procedimento è simile, ma l'assurdo deriva da una constatazione aritmetica e non dalla negazione dell'esistenza di minimo in $NN$.
Il termine "passaggio a discesa" l'ho coniato io al momento proprio pensando alla discesa infinita, l'idea è quella appunto di sostituzioni successive che mi diminuiscono progressivamente il secondo membro, ma non è un nome - che io sappia - ufficiale.
Slashino, in quale passaggio non ti è chiara?
Comunque se dici di non aver mai sentito parlare di eq. diofantee, forse è meglio che guardi qualcosa sul web a questo proposito.
Il procedimento è simile, ma l'assurdo deriva da una constatazione aritmetica e non dalla negazione dell'esistenza di minimo in $NN$.
Il termine "passaggio a discesa" l'ho coniato io al momento proprio pensando alla discesa infinita, l'idea è quella appunto di sostituzioni successive che mi diminuiscono progressivamente il secondo membro, ma non è un nome - che io sappia - ufficiale.
Slashino, in quale passaggio non ti è chiara?
Comunque se dici di non aver mai sentito parlare di eq. diofantee, forse è meglio che guardi qualcosa sul web a questo proposito.
Sì, in effetti la conclusione del tuo ragionamento è diversa dalla discesa infinita, nonostante la somiglianza dei passaggi intermedi.
Si penso sia meglio che mi informi sulle diofantee..mi potete dare qualche link che conoscete prima che mi addentro nel web? 
Non è un argomento molto specifico, in realtà.
Le eq. diofantee sono diversissime tra loro, in genere sapere un po' di aritmetica modulare può aiutare.
Quella che hai postato è relativamente semplice, visto che la soluzione non usa metodi specifici ma solo alcune proprietà aritmetiche.
Le più note e semplici sono le equazioni diofantee lineari.
Comunque se guardi qualche olimpiade della matematica (già al livello provinciale) trovi casi di diofantee semplici (con soluzione).
Le eq. diofantee sono diversissime tra loro, in genere sapere un po' di aritmetica modulare può aiutare.
Quella che hai postato è relativamente semplice, visto che la soluzione non usa metodi specifici ma solo alcune proprietà aritmetiche.
Le più note e semplici sono le equazioni diofantee lineari.
Comunque se guardi qualche olimpiade della matematica (già al livello provinciale) trovi casi di diofantee semplici (con soluzione).
grazie mille , cerco un po di informarmi e mi rifaccio vivo 
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