Soluzioni di polinomi - SNS 1990
"Sia dato il polinomio $F(x)=x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_0$ con coefficienti $a_i$ interi. Supponiamo che esistano quattro interi distinti $a$, $b$, $c$, $d$, tali che $F(a)=F(b)=F(c)=F(d)=7$. Dimostrare che non esiste alcun intero $k$ tale che $F(k)=12$".
Risolvendo questo problema, mi è tornato in mente un esercizio delle Olimpiadi della Matematica che fa così:
Dato il polinomio $p(x)$ a coefficienti interi si sa che esistono 4 interi distinti $a$, $b$, $c$ e $d$ tali che $p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=5$. Si dimostri che non esiste alcun intero $k$ tale che $p(k)=8$.
Trascrivo la soluzione che c'è sul libro delle Olimpiadi della Matematica.
Poniamo $q(x)=p(x)-5$. Allora $a$, $b$, $c$ e $d$ sono radici intere distinte di $q(x)$. Usando l'algoritmo di divisione dei polinomi e il teorema di Ruffini, possiamo concludere che $q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*h(x)$, dove $h(x)$ è un polinomio a coefficienti interi. Sia ora un $k$ intero tale che $q(k)=(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)*h(k)$ diverso da 0. Osserviamo che $k-a$, $k-b$, $k-c$, $k-d$ sono quattro interi distinti e non nulli. Pertanto il modulo del loro prodotto sarà maggiore o uguale a quattro, da cui $|q(k)|>=4$. Ne concludiamo che $q(k)$ diverso da $3$ per ogni $k$ e quindi $p(k)$ diverso da $8$.
Se io faccio lo stesso identico ragionamento per il mio problema ho sempre $|q(k)|>=4$, ma $12-7=5$ che è maggiore di 4.
Come devo applicare il ragionamento del secondo problema sul mio problema iniziale?
Grazie mille dell'aiuto.
Risolvendo questo problema, mi è tornato in mente un esercizio delle Olimpiadi della Matematica che fa così:
Dato il polinomio $p(x)$ a coefficienti interi si sa che esistono 4 interi distinti $a$, $b$, $c$ e $d$ tali che $p(a)=p(b)=p(c)=p(d)=5$. Si dimostri che non esiste alcun intero $k$ tale che $p(k)=8$.
Trascrivo la soluzione che c'è sul libro delle Olimpiadi della Matematica.
Poniamo $q(x)=p(x)-5$. Allora $a$, $b$, $c$ e $d$ sono radici intere distinte di $q(x)$. Usando l'algoritmo di divisione dei polinomi e il teorema di Ruffini, possiamo concludere che $q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)*h(x)$, dove $h(x)$ è un polinomio a coefficienti interi. Sia ora un $k$ intero tale che $q(k)=(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)*h(k)$ diverso da 0. Osserviamo che $k-a$, $k-b$, $k-c$, $k-d$ sono quattro interi distinti e non nulli. Pertanto il modulo del loro prodotto sarà maggiore o uguale a quattro, da cui $|q(k)|>=4$. Ne concludiamo che $q(k)$ diverso da $3$ per ogni $k$ e quindi $p(k)$ diverso da $8$.
Se io faccio lo stesso identico ragionamento per il mio problema ho sempre $|q(k)|>=4$, ma $12-7=5$ che è maggiore di 4.
Come devo applicare il ragionamento del secondo problema sul mio problema iniziale?
Grazie mille dell'aiuto.
Risposte
Direi che hai fatto il 99.9% del lavoro. Sia $F$ il polinomio di partenza e sia $P=F-7$. Per il teorema di Ruffini $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)h(x)$ per un polinomio $h$ a coefficienti interi. Ora supponiamo che esista $k$ intero tale che $F(k)=12$, ovvero $P(k)=5$. Deve essere
$(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)h(k)=5$;
ma essendo i singoli fattori dei numeri interi, questo potrebbe essere solo quando tutti i fattori sono uguali a $+-1$ tranne uno che è uguale a $+-5$. E questo non è possibile.
$(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)h(k)=5$;
ma essendo i singoli fattori dei numeri interi, questo potrebbe essere solo quando tutti i fattori sono uguali a $+-1$ tranne uno che è uguale a $+-5$. E questo non è possibile.
Ah, quindi non devo considerare, come nel problema delle Olimpiadi, che $q(x)>=4$, ma mi basta sfruttare il fatto che $5$ sia un numero primo.. Grazie mille!
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