Pensare un po' di più

Salve a tutti, sono nuovo... in attesa di pensare a qualcosa da scrivere nel forum delle presentazioni, vi lascio con un problema abbastanza strano che mi è stato fatto oggi. Lo posto in questa sezione perchè non è facile come potrebbe sembrare, e anche perchè c'entra relativamente poco con la statistica (direi che è più algebrico che altro, in ogni caso fatemi sapere se andava messo da qualche altra parte). La domanda è abbastanza chiara: che condizioni devono verificarsi affinché la media ...

Un esercizio per stimolare un po' la fantasia. *** Problema: Supponiamo di avere assegnati due punti [tex]$a<b\in ]0,+\infty[$[/tex] e due funzioni [tex]$f:[0,a]\to [0,+\infty[$[/tex] e [tex]$g:[0,b] \to [0,+\infty[$[/tex] continue e tali che: 1. [tex]$f(0)=g(0)$[/tex] (senza ledere la generalità, in quel che segue si potrà supporre che [tex]$f(0)=0=g(0)$[/tex]); 2. [tex]$f(x)> g(x)$[/tex] in [tex]$[0,a]$[/tex]. Evidentemente, per ogni [tex]$\xi \in ]0,a]$[/tex] vale ...

Un passatempo non difficile per chi ha dato almeno Analisi1 (non serve altro) e ha da passare una mezz'oretta sul bus, come me ieri. Fatemi avere qualche riscontro Sia [tex]$f : [0,1] \to [0,1]$[/tex] continua tale che 1) [tex]$f(x)<x$[/tex] [tex]$\forall x\in(0,1]$[/tex] 2) Esiste la derivata destra in $0$, ed è uguale ad [tex]$1/2$[/tex] Fissato $a_0 \in [0,1]$, considerare la successione ricorsiva [tex]$a_{n+1} := f(a_n)$[/tex] Studiare il ...

[ titolo modificato ] Vista la giovane vita di questa sezione ne metto uno io - è di livello universitario, quindi "facile". Categoria: teoria della calcolabilità. Teorema: dato il linguaggio della terminazione $L_(\s\t\o\p)$, o equivalentemente il problema della terminazione, dimostrare che se il linguaggio è decidibile allora la congettura di Goldbach è dimostrabile.

Sia [tex]q\in \mathbb{R}^+[x][/tex] di grado [tex]n[/tex]. Se [tex]q(1)\ge1[/tex] allora [tex]\forall x\in (0, +\infty)[/tex] si ha che [tex]$q\left(\frac{1}{x}\right)\ge \frac{1}{q(x)}[/tex] _________ Esercizio arrivatomi via e-mail. Ho una soluzione, ma credo che una sola sia insufficiente. Ovviamente buon divertimento!!

Prendendo spunto da questo topic Leggi qui mi chiedevo se fosse mai stato dimostrato che: $n!$ = $(1*2*3*)$ + $(2*3*4)$ + ..... $((n-2) * (n-1) * n)$ + $((n-1) *n * 1)$ + $(n * 1 * 2)$ Esempio: 5! = 6 + 24 + 60 + 20 + 10

Ho scoperto da qualche giorno l'esistenza di questa bella sezione, e per darle "la mia benedizione" vorrei proporre un esercizio magari facile, non so dirlo. Ad ogni modo: Dimostrare che [tex]$\forall \alpha\in\mathbb{N}_{>0}\qquad\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k}= \log(2)[/tex] Spero vi piaccia __________ Nota: Questo obbrobrio è nato come controesempio in questa discussione

Un simpatico esercizio sulle convergenze: questa sera mi sento in vena di proporlo a tutti un esercizio che a leggerlo sembra ovvio, ma metterlo nero su bianco causa/potrebbe causare qualche difficoltà... Definizione: "Diciamo che una successione [tex]\{x_n\}[/tex] in [tex]X[/tex] spazio topologico converge ad un punto [tex]\bar{x}\in X[/tex] se per ogni intorno [tex]U_{\bar{x}}[/tex] esiste un intero $n$ tale che $j>n$ implice che [tex]x_j\in ...

Quesito posto da un mio amico. Non ho la soluzione, anche se, come si vedrà, un po' ci ho lavorato. *** Problema: Siano \(aInnanzitutto voglio sapre quale dei fattori numerici presenti al secondo membro di (*) è "strutturale", nel senso che non dipende dai punti [tex]$a,\tfrac{a+b}{2},b$[/tex]. Per saperlo l'unico modo è fare dei cambiamenti di variabile negli integrali al primo membro e nella derivata al secondo. Allora scelgo il cambiamento di variabili in modo che ...

Ho tre dimostrazioni di questo fatto, due mie e una suggerita da un mio compagno di corso. Sia [tex]u\in L_{loc}^1(I)[/tex] con [tex]I[/tex] un intervallo reale. Dimostrare che se [tex]\displaystyle\int_I u \phi^{(k)}=0[/tex] per ogni [tex]\phi\in C_0^{\infty}(I)[/tex] allora [tex]u(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} A_j x^j[/tex] q.o., ovvero è un polinomio di grado al più [tex]k-1[/tex].

Chiunque abbia studiato la teoria base delle equazioni differenziali ordinarie conosce il seguente: Teorema di esistenza ed unicità locale Sia [tex]$f:I\times J \to \mathbb{R}$[/tex] continua nel rettangolo [tex]$I\times J \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] e localmente lipschitziana rispetto alla seconda delle variabili da cui dipende. Comunque si scelga il punto [tex]$(x_0,y_0)\in I^\circ \times J^\circ$[/tex], il problema di Cauchy: (*) [tex]$\begin{cases} y^\prime (x)=f(x,y(x)) \\ y(x_0)=y_0\end{cases}$[/tex] ha una soluzione locale intorno ad ...

Sia [tex]A \in \mathbb R^{n \times n}[/tex] una matrice irriducibile a entrate non-negative, i.e. [tex]a_{ij}\geq0[/tex] per ogni [tex]i,j=1,\cdots,n[/tex]. Dimostrare che allora la matrice [tex](I+A)^{n-1}[/tex] è a entrate strettamente positive.

Salve, vi illustro brevemente il mio problema. Io sto creando un gioco e cercavo il metodo più efficiente di fare quanto scritto sotto. Ho principalmente 2 tipi di "oggetti", localizzati in uno spazio 2D (con coordinate x e y): [*:kwm60j83]N basi di lavoratori, che contengono un numero variabile di lavoratori.[/*:m:kwm60j83] [*:kwm60j83]M miniere, che hanno al loro interno un tot variabile di risorse.[/*:m:kwm60j83][/list:u:kwm60j83] Ogni lavoratore può portare la stessa quantità di ...

"In un piano sono date tre rette parallele $r$, $s$ e $t$: la retta $s$ è tra le altre due e contiene un punto assegnato $A$. Determinare le parti della retta $r$ costituite dai punti $X$ per i quali passa almeno una retta che incontra le rette $s$, $t$ in punti equidistanti da $A$." Chiamo $alpha$ l'inclinazione della retta passante per ...

E' un classico (presente, tra l'altro, su vari testi tra cui il Rudin e, forse, il Giusti). Dispongo di una soluzione (per maggiori dettagli vedi spoiler) e - stando a quanto ci aveva detto il nostro prof - è un esercizio "difficile" (o se preferite non banale ). Osservato che ogni numero razionale positivo si può scrivere come rapporto di interi [tex]$\frac{n}{m}[/tex] con [tex]n,m \in \mathbb{N} \text{ e }(n,m)=1[/tex] (ovviamente [tex]m \neq 0[/tex]), si pone il seguente<br /> <br /> <strong>Problema.</strong> Sia [tex]f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}[/tex] così definita:<br /> <br /> [tex]\[<br /> f(x)=\begin{cases}<br /> \frac{1}{m}\,\, \text{ se} & x=\frac{n}{m}\in\mathbb{Q}^* \cap \nn [0,1], \, (n,m) =1 \\<br /> 0\,\,\,\text{ altrimenti} \end{cases}\][/tex]<br /> <br /> cioè la funzione che vale $1/m$ sui punti razionali dell'intervallo (dove $m$ indica il denominatore del numero) e vale 0 altrimenti (cioè se [tex]& x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cap [0,1] \vee x=0[/tex]). Si provi che $f$ è integrabile secondo Riemann su $[0,1]$.<br /> <br /> <div style="margin:4px 0px 4px 0px"><input type="button" value="Mostra" class="spoiler-button" onclick="if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != '') { this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = ''; } else { this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; }" /><div style="display:none" class="spoiler">Sono in possesso di una soluzione che usa il Teorema di Vitali-Lebesgue, che di solito si cita nei corsi di Analisi I come "cannone" per simili questioni. In effetti, usando V-L, è sufficiente provare che la $f$ è continua in tutti i punti irrazionali (essendo $QQ$ numerabile e dunque di misura nulla). <br /> Il prof mi aveva detto che la mia soluzione era corretta (aiutandomi a sistemare qualche dettaglio) ma - nonostante la mia richiesta - non mi hai mai spiegato come fare a mostrare direttamente l'integrabilità di $f$, ...

Dopo l'ultimo problema difficile che ho postato (qui; ancora nessuno ha tentato una risposta), mi rifaccio con un esercizio elementare sulle funzioni monotone continue. Studenti dei primi anni, fatevi sotto! *** Esercizio: Siano [tex]$I$[/tex] un intervallo aperto di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] strettamente monotona e continua. 1. Dimostrare che per ogni [tex]$y\in f(I)$[/tex] risulta: (a) ...

La cifra [tex]2^{29}[/tex] contiene tutti i numeri ad eccezione di uno, quale? Nb: Non bisogna fare alcun calcolo.

Si trovino tutte le soluzioni intere, se esistono, della seguente Equazione di Mordell: [tex]y^2=x^3+339[/tex] Nel caso non esistessero dare una motivazione.

Sia [tex]$f\in C ([0,1])$[/tex] tale che [tex]$\int_0^{1} f(x)x^n \text{d} x=0 \quad \forall n\ge0$[/tex] Mostrare che risulta [tex]$f\equiv0$[/tex]. p.s.: non ho la soluzione p.p.s: la fonte è un esame di ammissione al Dottorato (università La Sapienza). Good work!

Dato [tex]$\left[a,b\right] \subseteq \mathbb{R}$[/tex] trovare, se esiste, una funzione [tex]$f:\left[a,b\right] \to\mathbb{R}[/tex]<br /> <br /> tale che [tex]$f\in C^0\left(\left[a,b\right]\right)$[/tex] cioè [tex]$f$[/tex] continua in [tex]$\left[a,b\right]$[/tex] e tale che [tex]f[/tex] non è monotona in alcun intervallo. Oppure dimostrare che tale funzione non esiste.