Semplicità di un gruppo dato il suo ordine

[Studente Anonimo]

Salve a tutti.

Un problema che trovo molto interessante in teoria dei gruppi è il seguente: discutere la semplicità di un gruppo finito G dato il suo ordine. Ne abbiamo parlato molto spesso sul forum: per esempio uno, due, tre, quattro, cinque, e forse il più bello di tutti: sei (a proposito di questo, il numero 264 è interessante).

Ci ho pensato recentemente e sto scrivendoci su qualcosa. I numeri più divertenti che ho trovato finora sono 264 e 288. Anche il 252 dovrebbe essere difficile, ma in prima analisi l'ho travisato. In ogni caso altri numeri molto divertenti sono 315, 336, 400, 420 e 480. Naturalmente non è concesso usare il teorema [tex]p^aq^b[/tex] di Burnside o il teorema di Feit-Thompson.

Segnalo questo bellissimo articolo del 1892 dove si discute la semplicità di un gruppo finito dato il suo ordine, per ogni ordine da 201 a 500. Salta fuori che il primo numero veramente difficile da trattare è 432
Purtoppo per visualizzare l'articolo completo bisogna essere abbonati, o qualcosa del genere.

Simple Groups from Order 201 to Order 500
F. N. Cole
American Journal of Mathematics
Vol. 14, No. 4 (Oct., 1892), pp. 378-388
(article consists of 11 pages)
Published by: The Johns Hopkins University Press
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2369611

[j18eos]

Io ultimamente pensavo alla nuova linea di ricerca sul teorema di classificazione dei gruppi finiti semplici, visto che non tutti la considerano "perfetta". Forse questo thread sarà un segnale...

[vict85]

"j18eos":Io ultimamente pensavo alla nuova linea di ricerca sul teorema di classificazione dei gruppi finiti semplici, visto che non tutti la considerano "perfetta". Forse questo thread sarà un segnale...

Quale nuova linea? Comunque non si può dimostrare il teorema di classificazione procedendo come Martino.

[j18eos]

Che tale teorema non si dimostri come dice Martino lo sapevo in quanto i teoremi di Burnside e Feit-Thompson sono ampiamente utilizzati.

Leggendo vari libri di matematica divulgativa vi ho trovato tale notizia, ed in uno si parlava addirittura di un buco nella dimostrazione! Andando sul certo, in una dispensa di teoria dei gruppi il docente parla esplicitamente di una nuova dimostrazione come revisione di quella originale!

[Studente Anonimo]

"j18eos":Forse questo thread sarà un segnale...

Non capisco proprio quello che vuoi dire.

Ah comunque, chiaro che non si può usare il teorema di classificazione, grazie tante
So che quando lo si usa è bene specificarlo, perché credo se ne stia ancora esaminando la dimostrazione. Ma le notizie in merito non sono chiare.

Questo problema degli ordini è nulla in confronto al problema della classificazione, naturalmente (inutile dirlo). Ma a mio avviso è utile averlo come chiodo fisso. Per esempio oggi mi sono letto la dimostrazione del teorema di Burnside ed improvvisamente il mio interesse per la teoria dei caratteri è schizzato alle stelle (anche prima era elevato, ma diciamo che levitava intorno alle nuvole).

[j18eos]

Sarà un segnale che mi dovrò imbarcare sulla corrente di ricerca della dimostrazione del teorema di classificazione dei gruppi finiti semplice nell'eventualità che fosse ancora dubbia la validità della sua attuale dimostrazione!

Mi sono mangiato le parole.

[vict85]

Secondo quanto si dice qui (nella prefazione che vi potete scaricare) http://www.springer.com/mathematics/alg ... 4800-987-5 la dimostrazione può considerarsi conclusa dopo la pubblicazione di due volumi da parte di Ashbacher e Smith. Ci sono comunque tentativi per ridurla di dimensione. La stessa dimostrazione del teorema di Feit-Thompson (liberamente scaricabile dal sito del giornale che l'ha pubblicato) è lunga un centinaio di pagine e si sta cercando di ridurla.