Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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"Qual è il più grande intero $N$ tale che $n^5-5n^3+4n$ sia divisibile per $N$ qualunque sia l'intero $n$?"
Ho scomposto il polinomio, e ottengo $n(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)$. Non capisco se il numero $N$ deve essere in funzione di $n$ oppure no. Nel caso in cui lo sia a me verrebbe da dire che $N=(n+2)(n+1)*n*(n-1)$, cioè il prodotto di tutti i fattori tranne il minore.
Come si risolve questo esercizio? Grazie
Siano $a,b>0$ ed $E$ l'ellisse avente semiassi lunghi $a$ e $b$.
È noto che l'area della parte di piano $Omega$ racchiusa da $E$ è data da $A(Omega)=pi*a*b$; d'altra parte il perimetro $P(Omega)$ di $Omega$, ossia la lunghezza della curva $E$, non è determinabile in modo elementare (chi conosce un po' di Analisi avanzata saprà che nel calcolo della lunghezza di ...
"a) Si sa che la somma di due interi positivi è 30030. Si dimostri che il loro prodotto non è divisibile per 30030.
b) E' ancora vera questa proprietà se si sostituisce il numero 30030 con 11550?
c) E, in generale, per quali numeri $a$ il prodotto di due interi positivi con somma $a$ è divisibile per $a$?"
Io l'ho risolto in questo modo:
a) $p+q=30030$, $p=30030-q$
$p*q=(30030-q)*q=30030*q-q^2=30030(q-q^2/30030)$, che è divisibile per 30030 solo se ...
"Siano date due circonferenze $C$ di centro $O$, e $C'$ di centro $O'$, fra loro secanti in due punti $A$ e $B$. Sia $P$ un punto di $C$, esterno a $C'$. Sia poi $M$ il secondo punto di intersezione della retta $PA$ con $C'$ ed $N$ il secondo punto di intersezione della retta $PB$ con ...
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"E' dato un angolo acuto ed un punto P interno ad esso: condurre per P una retta che stacca un triangolo di area assegnata $a^2$. Dire per quali valori di $a$ il problema ammette soluzioni."
Io ho tracciato il sistema di riferimento e ho posto nell'origine la semiretta $r$ che forma l'angolo acuto dato $alpha$. Quindi
$r: y=tan(alpha)*x$, con $0<alpha<pi/2$.
Il punto dato è $P(x_0;y_0)$, con ...
TGM, ovviamente, è la Teoria Geometrica della Misura.
Parlando molto rozzamente, la TGM è lo studio delle diverse nozioni di "misura di superficie", o "perimetro", che è possibile dare in $RR^N$ per varietà $(N-1)$-dimensionali (e non solo) e delle relazioni geometriche che sussistono tra tali misure, come ad esempio la disuguaglianza isoperimetrica che lega volume e perimetro di un corpo (ossia misura di Lebesgue di un insieme $E$ e misura di superficie ...
Proviamo a fare questa cosa: comincio col proporre io un problema (abbastanza facile), poi chi lo risolve propone a sua volta un problema etc etc. Se il risolutore di un problema non ha niente da proporre, puo' dare il permesso ad altri di proporne uno.
Sarebbe bello se si riuscisse a spaziare in piu' campi, e non tenersi solo in uno. Poi, non sarebbe l'ideale proporre problemi esageratamente difficili, cosi' non si ferma tutto.
Problema 1
Siano $a,b,c$ tre interi distinti, e sia ...
La domanda è la seguente.
Se ho una successione di $L^p([a,b])$ e so che:
1) essa converge q.o. (o converge in misura) in $[a,b]$ e
2) le $L^p$-norme degli elementi della successione convergono alla $L^p$-norma del limite puntuale q.o. (che è finita),
allora posso dire che la mia successione converge in $L^p([a,b])$ al limite puntuale q.o.?
(Se vale solo la 1) la cosa è falsa e si può vedere con un semplice controesempio.*)
***
Questo ...
Questo problema mi assilla da parecchi giorni e non ho più idee su come affrontarlo!
Sia $f(x)$ una funzione positiva, derivabile due volte in $RR$ e tale che $f''(z)<=M$, $M>0$ $AA z \in RR$. Dimostrare che $AA x \in RR$ vale la disuguaglianza $|f'(x)|<sqrt(2M f(x))$.
Il libro scrive anche questo suggerimento: "scrivere la formula di Taylor con centro x, arrestata al 2° ordine ed usare l'ipotesi su f''".
Avete qualche idea?
Se $G$ è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero positivo $n$ tale che $a^n=e$ per ogni $a inG$.
Questo è un esercizio proposto da Herstein subito dopo il primo paragrafo sui gruppi.
Ora, col teorema di Lagrange a disposizione, basta prendere $n=o(G)$. Ma come si può dimostrare sapendo, dei gruppi, solo la definizione, i lemmi sull'unicità del neutro e dell'inverso, le leggi di cancellazione, il fatto che $(a^-1)^-1=a$ e ...
Doverosa premessa:
Propongo come esercizio una cosa che ho scoperto leggendo Bourbaki e svolgendo qualche esercitazione; l'argomento non credo sia affrontato nei corsi di Analisi di base, quindi mi fa piacere "divulgarlo".
Ovviamente sul Bourbaki (Fonctions d'une variable réelle se non ricordo male) le cose sono presentate in maniera complicata assai, cosicché ho dovuto adattare alcune cose al caso in esame e riscrivere completamente la dimostrazione.
Spero di non aver sbagliato né ...
"Un rettangolo $HOMF$ ha i lati di lunghezza $HO=11$ e $OM=5$. Un triangolo $ABC$ ha $H$ come ortocentro, $O$ come circocentro, $M$ come punto mediano di $BC$ e $F$ come piede dell'altezza uscente da $A$. Si calcoli la lunghezza di $BC$."
Dopo mille fatiche per riuscire a disegnare un triangolo con rettangolo in modo decente, ho capito che quello che ...
Sia dato il triangolo ABC e H, G, O ne siano rispettivamente l'ortocentro, il baricentro ed il circocentro. Si mostri che G giace sul segmento OH e che HG=2*GO
Come faccio a dimostrare che i tre punti sono allineati?
Dato il successo che ha ottenuto recentemente la maratona sui problemi di 'Teoria dei gruppi', ho pensato che fosse il caso di aprire un topic simile, nel quale esporre problemi di algebra lineare.
Valgono le stesse regole, quindi: chi risolve per primo esibisce un nuovo problema, oppure cede la mano... Nella speranza che qualcuno voglia partecipare, posto il primo problema... Pronti, via!
Si consideri lo spazio vettoriale $M_(n,m)(K)$ (matrici con $n$ righe ed ...
Prima domanda, orale di matematica, nemmeno mi ero ancora seduto quasi
Consideri la funzione $g(x)=frac{x+x^2}{2}$
Dica se è possibile, e se sì quanto vale, calcolare:
$\int_0^1 g^(-1)(x) dx$
intendendo $g^-1(x)$ la funzione inversa di $g(x)$.
Consiglio: lavorare sul grafico.
Buon divertimento
Riporto il testo dell'esame alla SNS dell'anno 2001:
"Sia G il punto di intersezione delle due mediane AH e BK del triangolo ABC. Sapendo che nel quadrilatero GHCK è inscritto un cerchio di raggio uguale a quello del cerchio inscritto nel triangolo ABG, trovare i rapporti $(AB)/(BC)$, $(BC)/(CA)$, $(CA)/(AB)$."
Ho considerato la proprietà del baricentro, per cui: $BG=2GK$ e $AG=2GH$.
Il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza, per cui: ...
Questo era fattibile, buono per chi vuole ripassare un po' di algebra di base con un esercizio carino.
Si consideri il polinomio
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Sappiamo che
$ad>0$
Stabilire se le seguenti affermazioni, prese una per volta, sono vere, false o se la loro validità dipende dai casi.
i)Il polinomio ammette 3 radici positive
ii)Il polinomio ammette almeno una radice negativa
iii)Il polinomio si annulla per un valore $x_0>100$
iv)La funzione ...
In un lago a forma circolare,ci sono 4 case,A,B,C,D. Si sa che A dista dalle case C e B un kilometro,che B è distante da D sette volte rispetto la distanza di C da D, e che la distanza tra D e A è cinque volte la distanza tra C e D. (Per distanza si intende in linea d'aria). Calcolare il raggio del lago..
Per riordinare un attimo le idee,riscrivo meglio le ipotesi.
$AB=AC=1000metri$
$CD=x$
$BD=7x$
$AD=5x$. Trovare il raggio del lago.
Vi propongo questo problemino dato quest'anno al test d'ammissione di questa Scuola Superiore.
Considerare 3 città: A-B-C
Come in figura (fatta da me), sappiamo che A e B sono collegate da due strade. Stessa cosa per B e C.
Ma sappiamo anche che A e C sono collegate da una ferrovia.
A causa di una nevicata, si ha una probabilità $p$ che ogni singola strada risulti bloccata, e quindi impraticabile, stessa cosa per la ferrovia (bloccata con probabilità ...
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