Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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"Dividiamo l'insieme dei primi sette interi positivi in due parti. Dimostrare che, comunque sia fatta questa suddivisione, una delle due parti contiene almeno una coppia di numeri la cui differenza appartiene pure alla parte stessa. (Per esempio, la parte costituita dai numeri 1 e 2 soddisferebbe la condizione richiesta poiché 2-1=1)"
Questa è la mia soluzione, e volevo chiedervi se sia meglio farla in un altro modo, ad esempio non usando i numeri.
Tento di costruire una suddivisione che ...
"Due circonferenze si intersecano e sia A uno dei punti di intersezione. Condurre per A le rette che formano con le due circonferenze corde uguali."
Io l'ho impostato in questo modo: innanzitutto chiamo R il raggio della circonferenza maggiore con centro in O' e r il raggio della circonferenza minore con centro in O''. Chiamo B il punto di intersezione della retta che devo condurre con la circonferenza maggiore e C il punto di intersezione con la circonferenza minore, e chiamo ...
"Trovare il luogo del terzo vertice di un triangolo, dati due vertici e la lunghezza di una mediana. Esaminare i vari casi"
1° caso: Dato il segmento AB e la lunghezza della mediana CM, cioè la mediana uscente dal terzo vertice, con M punto medio di AB. Il luogo è una semicirconferenza di centro M, punto medio di AB, e raggio CM, la lunghezza data della mediana.
2° caso: Dato il segmento AB e la lunghezza della mediana AM (o BM, senza perdita di generalità), cioé la mediana uscente dal ...
"Dati tre numeri interi $a$,$b$,$c$ aventi massimo comun divisore 1, verificare che i numeri della forma $am^2+bm+c$ con $m$ intero qualunque, non possono essere tutti divisibili per $14$. Generalizzare il risultato."
Questo è il mio procedimento:
Inizio a vedere se, al variare di $m$, il polinomio si mantiene sempre pari oppure no. Nel caso in cui io trovassi casi per cui il polinomio non è pari, ...
Propongo un esercizio grossomodo standard sugli spazi $L^p$ (si trova anche, ad esempio, in Rudin, Analisi Reale e Complessa).
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Siano $(X,\mathcal{M},\mu )$ uno spazio di misura e $p>=1$.
Studiando la teoria degli spazi $L^p$ si nota subito che c'è una sostanziale differenza nella costruzione della norma di $L^p$ nel caso $p<oo$ e $p=oo$: infatti mentre nel caso $p<oo$ la norma si rappresenta mediante un integrale, ...
"Dimostrare che le soluzioni intere positive dell'equazione $x+y+z=x*y*z$ sono numeri distinti. Dimostrare che l'unica soluzione è costituita dalla terna $1$,$2$,$3$."
Per quanto riguarda la prima parte, ho ipotizzato per assurdo che $x=y$. L'equazione si riduce a:
$2x+z=x^2*z$
$x^2*z-2x-z=0$
$x_(1,2)=(1+-sqrt(1+z^2))/z$
$1+z^2$ non può essere un quadrato perfetto, per nessuno $z$ intero, e quindi le soluzioni ...
"Una bilia si trova su un biliardo in una posizione P. Provare che esiste almeno una direzione secondo cui si può lanciare la bilia in modo che essa non ripassi mai per la posizione P.
(Si consideri il biliardo privo di attrito e che il rimbalzo alle sponde obbedisca alla stessa legge di riflessione della luce)"
Non so come iniziare a pensare di risolvere questo esercizio. Qualcuno può aiutarmi e suggerirmi quale deve essere il mio approccio e il ragionamento che devo fare? Grazie mille.
"Dire quale condizione devono soddisfare tre cerchi del piano di uguale raggio e privi, a due a due, di punti comuni perché esista un quarto cerchio tangente a tutti e tre che li racchiude tutti. Costruire tale cerchio".
Io ho risolto l'esercizio e volevo chiedere conferma della mia soluzione.
Affinché un cerchio contenga altri tre cerchi (tangenti internamente ad esso), ne consegue che i tre centri dei tre cerchi debbano distare dal centro del cerchio cercato la stessa quantità ...
"In occasione di un rinnovo del contratto di lavoro, i rappresentanti sindacali ottengono che, oltre al riposo domenicale, i dipendenti di un'azienda godano di una vacanza ogni quattro giorni e di una vacanza ogni dieci giorni quale premio di operosità. Il contratto va in vigore il primo giorno di un anno che cade di lunedì. Calcolare in quali giorni dell'anno accadrà, per la prima volta, che per effetto di questo accordo e dei riposi domenicali, i dipendenti godranno di tre giorni di vacanza ...
"Fissato un intero positivo $n$, determinare il più piccolo intero $m$ tale che, presi comunque $m$ interi, una almeno delle seguenti eventualità si verifichi:
a) tra gli $m$ numeri considerati, ve ne sono $n$ uguali;
b) tra gli $m$ numeri considerati, ve ne sono $n$ distinti."
Non mi è molto chiaro il testo. Presi $m$ numeri, se $n$ sono uguali, allora ...
Vi propongo un altro esercizio, dalla prova d'ammissione in SISSA 2005.
Sia $f:RR \to RR$, $f in C^2(RR)$,
supponiamo che $lim_{x \to +oo} f(x)=lim_{x \to -oo} f(x)=0$.
Allora $f''$ ha almeno due zeri distinti.
Non saprei come procedere. Ho inziato così.
Se la $f$ è identicamente nulla l'asserto è provato.
Altrimenti $EE barx in RR t.c. f(barx)!=0$, per esempio $f(barx)>0$.
Allora (con Lagrange) ci saranno $x_1<barx<x_2$ tali che $f'(x_1)>0$,$f'(x_2)<0$.
Allora (sempre ...
Un esercizio facile sugli integrali multipli e sulle formule di riduzione.
***
Con $"m"_N(E)$ intendo la misura di Lebesgue di una parte $E\subseteq RR^N$ misurabile; dalla teoria è noto che:
a) $\quad "m"_N (E)=\int_E " d"x_1\ldots " d"x_N$
cosicché la misura di $E$ si può calcolare mediante l'integrale $N$-uplo della funzione identicamente $=1$ in $E$.
Da ciò e dal teorema del cambiamento delle variabili segue che, per ogni $r >= 0$, la ...
"In un piano sono dati una retta $r$ e due punti $L$, $M$ fuori di essa. Inoltre è assegnata una lunghezza $a$. Determinare sulla retta $r$ due punti $H$, $K$ tali che il segmento $HK$ abbia lunghezza $a$ e sia minima la lunghezza della spezzata $LHKM$."
Ho provato a risolverlo trigonometricamente. Chiamando $l$ e $m$ le ...
"Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre un quadrato perfetto"
La seconda parte è semplice: $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n^4+6n^3+11n^2+6n+1 = (n^2+3n+1)^2$.
Per quanto riguarda la prima parte, $n(n+1)(n+2)(n+3)$ è un quadrato perfetto se $n(n+2)=(n+1)(n+3)$ o se $n(n+1)=(n+2)(n+3)$ o se $n(n+3)=(n+1)(n+2)$.. Tali espressioni portano sempre ad equazioni impossibili o ad $n$ non interi.
Posso dimostrarlo in questo modo?
"Sono dati in un piano quattro punti A, B, C, D, in modo che A, B, C e A, B, D sono vertici di triangoli equilateri distinti. Determinare tutte le circonferenze che godono della seguente proprietà: i quattro punti A, B, C, D hanno dalla circonferenza uguale distanza".
Allora, una prima soluzione intuitiva la trovo facilmente: innanzitutto nessuna delle circonferenze cercate può essere totalmente esterna o totalmente interna ad ABCD (che poi in fondo è un rombo). Le circonferenze che ...
"Si dispongano sulle 64 caselle di una scacchiera i numeri 1,2,3,...,64. Chiamiamo contigue due caselle che hanno un lato in comune. Si dimostri che esistono almeno due caselle contigue i cui numeri differiscono per più di 4."
Come devo impostare il problema? Grazie.
"Si consideri l'equazione $x^5+a_1*x^4+a_2*x^3+a_3*x^2+a_4*x+a_5=0$ a coefficienti tutti interi.
Supponiamo che $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ siano tutti divisibile per un assegnato numero intero primo $p>1$ e che $a_5$ non sia divisibile per $p^2$.
Dimostrare che l'equazione non ammette come soluzione alcun numero intero"
Io ho riscritto l'equazione in questo modo: $x^5+k_1*p*x^4+k_2*p*x^3+k_3*p*x^2+k_4*p*x+k_5*p=0$. Ipotizzo che abbia soluzioni ...
"Sono assegnate tre rette parallele. Esiste un triangolo equilatero con i vertici rispettivamente sulle tre rette?"
Riesco solo a partire dal triangolo e a disegnare i trii di rette parallele che escono dai vertici, ma non riesco a fare il contrario..
Grazie!
Come ben sappiamo, aggiungere/eliminare addendi nulli da una somma finita non ne altera il risultato.
La domanda che vorrei porvi è la seguente: si può estendere tale risultato alle "somme infinite", ossia alle serie numeriche?
In particolare, vi chiedo di dimostrare la seguente proposizione (da cui, per comodità, ho escluso il caso banale in cui una serie si riduce ad una somma finita):
Sia $(a_n) \subset RR$ una successione con infiniti termini non nulli e sia ...
Leggendo questo esercizio mi rendo conto di non avere idea di come approcciarmi a risolverlo. Qualcuno può aiutarmi e guidarmi al ragionamento che devo seguire, per capire come devo ragionare? Grazie.
"Su un foglio di carta illimitato sono segnati due punti A e B. Si disponga di tre righe prive di suddivisioni, una lunga cm 8, l'altra lunga cm 11, la terza illimitata; dire con quale precisione si può misurare la distanza dei punti A e B."
Grazie.
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