Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Come è noto, dato un sottoinsieme [tex]Z[/tex] di [tex]\mathbb{R}[/tex], si può definire la misura esterna di [tex]Z[/tex] come il numero reale
[tex]$ m(Z)=\inf\left(\sum_{k\in\mathbb{N}}|I_k|\right)[/tex]<br />
dove l'estremo inferiore è calcolato rispetto all'insieme di famiglie [tex](I_k)_{k\in\mathbb{N}}[/tex] al più numerabili di intervalli [tex]I_k[/tex] tali che [tex]$Z\subset\bigcup_{k}I_k[/tex].
Se [tex]I=[a,b][/tex] è un intervallo di [tex]\mathbb{R}[/tex], abbiamo posto [tex]|I|=b-a[/tex].
In soldoni, si approssimano i sottoinsiemi di [tex]\mathbb{R}[/tex] con gli intervalli dall'esterno.
Premesso ciò, ecco l'esercizio (secondo me, abbastanza semplice, nessuno strumento ...
Visto che se ne è parlato qualche giorno fa, propongo questo esercizio soprattutto agli studenti di analisi I/II.
Consideriamo una serie $\sum a_n$ a termini positivi. Si dimostri che:
1. se $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\le 1$ definitivamente, allora $\sum a_n$ è divergente;
2. se esiste $c>1$ tale che $n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\ge c$ definitivamente, allora $\sum a_n$ è convergente.
(Naturalmente questo teorema ammette anche una formulazione alternativa qualora ...
Facile devo dire (e sono sempre stato un incapace con le diseguaglianze).
Si mostri che vale per ogni coppia [tex]$(x,y)\in \mathbb{R}^2$[/tex]
[tex]$\sqrt{1+x^2} \le \sqrt{1+y^2}+|x-y|$[/tex]
Mi sono fermato alla prima dimostrazione che mi è venuta di stomaco, molto bovina.
Un'altra più raffinata non mi è venuta, per quel poco che ho provato.
Vediamo se qualcuno rimedia.
Mi ricollego al recentissimo post di Martino, proponendo una dimostrazione carinissima del TFA basata sull'uso d'uno strumento classico dell'Analisi Armonica, cioè la formula d'inversione della trasformata di Fourier (in breve FIF).
***
Richiamiamo innanzitutto un paio di nozioni:
Sia [tex]$u\in L^1(\mathbb{R}; \mathbb{C})$[/tex].
Per ogni [tex]$\omega \in \mathbb{R}$[/tex] è finito l'integrale:
[tex]$\hat{u} (\omega):=\int_{-\infty}^{+\infty} u(t)\ e^{-\jmath \omega t}\ \text{d} t$[/tex],
e l'applicazione [tex]$\omega \mapsto \hat{u} (\omega)$[/tex] si chiama trasformata di Fourier di ...
Un esercizio semplice per chi studia Analisi I.
***
Esercizio:
Sia [tex]\sum a_n[/tex] una serie di numeri reali positivi.
1. Dimostrare che:
i) se risulta:
(*) [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda >1$[/tex]
allora la serie [tex]\sum a_n[/tex] è convergente;
ii) se risulta:
(**) [tex]$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln \left( \frac{1}{a_n}\right)}{\ln n} =\lambda \leq 1$[/tex]
allora la serie [tex]\sum a_n[/tex] è divergente.[/list:u:2tx798rc]
2. Stabilire se l'implicazione i rimane valida quando alla (*) si sostituisca la condizione più debole:
(§) ...
Un esercizio che chi ha fatto la teoria spettrale sicuramente ha già visto. Dunque è proposto (principalmente) a chi ha iniziato a vedere i primi accenni agli spazi di Banach / Hilbert...
Sia [tex]T:\mathbb{H}\to\mathbb{H}[/tex] un operatore continuo in uno spazio di Hilbert. Supponiamo che [tex]\mid\mid T\mid\mid_{\infty}
La definizione di derivata la conosciamo tutti dall'ultimo anno di scuola superiore:
Una funzione [tex]$f:]a,b[\to \mathbb{R}$[/tex] si dice derivabile in un punto [tex]$x_0\in ]a,b[$[/tex] se e solo se esiste finito il:
[tex]$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$[/tex],
il valore del quale viene denotato con [tex]$f^\prime (x_0)$[/tex] e si chiama derivata di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex].
Questa definizione è classica ed è stata rielaborata in varie salse ...
Propongo un esercizio che mi è stato proposto quest'estate.
Se non ricordo male è stato proposto anche tanto tempo fa qui, ma non fu trovata una risposta (se la memoria non mi inganna!).
Dovrebbe essere un "classico", insomma.
***
Problema:
1. Sia [tex]$f\in C^\infty (\mathbb{R})$[/tex] tale che per ogni [tex]$x\in \mathbb{N}$[/tex] esiste un [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$f^{(n)}(x)=0$[/tex].
Dimostrare che [tex]$f$[/tex] è un polinomio.
2. Dimostrare inoltre ...
Tratto dal concorso per l'assegnazione di borse di studio dell'Indam per la magistrale aa 2007/08.
Ho la soluzione (mia). Ritengo l'esercizio interessante, ma più tecnico che concettuale. Comunque a me è piaciuto.
" Sia [tex](X_n)_n[/tex] una successione di variabili aleatorie reali indipendenti e identicamente distribuite, con legge esponenziale d parametro uno.
Sia [tex]S_n=X_1+...+X_n[/tex] e
[tex]U_n=\dfrac{S_n-\mathbb{E}(S_n)}{\sqrt{\text{\mathcal{Var}}(S_n)}}[/tex]
1) ...
Buonasera a tutti voi.
Ho iniziato recentemente a freguentare un corso che si prefigge lo scopo di preparare gli studenti ai test di ingresso alle varie università di eccellenza. Mi sono stati assegnati degli esercizi che non riesco a risolvere. Li propongo qui via via sperando di ottenere da voi suggerimenti (prego quindi di mettere eventuali soluzioni in spoier; vorrei evitare di leggerle prima di averne trovata una mia) e sperando che possano tornare comodi anche ad altri.
Eccone ...
analisi 2 a tutti gli effetti.
Sia $g\inL^2(\RR^2)$, $g\ge0$. Per ogni naturale $n$ poniamo $E_n={(x,y):n\le g(x,y)\le2n+1}$. Definiamo
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}1/(1+x^2+y^2)\chi_{E_n}(x,y)$
Mostrare che $f\inL^1(\RR^2)$.
Come si fa l'integrale doppio che esce fuori? Magari si può solo stimare ... aiutino?!
Sia [tex]g(\cdot):[a,b] \subsetneq \mathbb{R} \to [c,d] \subsetneq \mathbb{R}[/tex] ([tex]a < b, c < d[/tex]) una funzione continua e suriettiva. Sia [tex]f(\cdot): \mathbb{R} \to [c,d][/tex] il suo prolungamento per periodicità a tutto [tex]\mathbb{R}[/tex], con periodo [tex]T = b-a[/tex]. Ossia poniamo
[tex]f(x) = g(x + k \cdot T)[/tex]
dove [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex] è l'unico intero per cui [tex]x+k \cdot T \in [a,b][/tex].
Prove it! L'immagine della successione [tex]\{f(\alpha\cdot ...
Un esercizio per gli studenti di Analisi II.
***
Esercizio:
1. Ricordato che:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} x^n =\frac{1}{1-x}$[/tex],
calcolare esplicitamente la somma delle serie seguenti:
i) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} n\ x^n$[/tex]
ii) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} n^2\ x^n$[/tex]
iii) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} n^3\ x^n$[/tex].
2. Infine descrivere un procedimento iterativo che consenta la determinazione della somma della serie:
iv) [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} n^k\ x^n$[/tex]
per ogni fissato esponente ...
Immaginiamo una matrice infinita. Le varie celle possono essere bianche o nere (0 o 1 se preferite). Immaginiamo di partire da una casella, muovendoci solo in orizzontale e verticale, con la restrizione di camminare solo sulle caselle dello stesso colore di quella da cui siamo partiti. Il più delle volte definiamo così una certa "area" raggiungibile, oltre i confini della quale non possiamo andare perchè siamo bloccati da celle di colore diverso.
Uno potrebbe chiedersi: quant'è grande ...
Sposto qui un problema proposto da whiles nella zezione statistica, che, a dispetto della sua apparente semplicità, ad oggi non ha ottenuto alcuna risposta.
Confido possiate fornirne una plausibile e magari solo dopo spostarlo in una sezione diversa . Grazie
--------------------------------------------
Ciao ragazzi,
ho un piccolo problema di statistica che probabilmente per voi è banale ma a me tormenta da un sacco di tempo
Praticamente c'è un gioco di carte, basato completamente ...
Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito che agisca transitivamente e fedelmente su un insieme [tex]\Omega[/tex] anch'esso finito, con [tex]|\Omega| \geq 2[/tex].
Chiamiamo "base" di tale azione un sottoinsieme [tex]\Gamma[/tex] di [tex]\Omega[/tex] tale che se un elemento [tex]g \in G[/tex] fissa ogni elemento di [tex]\Gamma[/tex] allora e' l'identita', e di cardinalita' minima con questa proprieta'. Denotiamo tale cardinalita' minima con [tex]b(G)[/tex].
Dato [tex]g \in G[/tex] indichiamo con ...
Un esercizio carino, in cui per risolverlo serve un'idea carina.
Indirizzato a chi sta facendo analisi I o corsi di topologia (per uno del primo anno questo esercizio lo reputo difficile, per uno del quarto tutto sommato tranquillo ), questo esercizio fornisce qualche esempio di inisiemi compatti in spazi di Banach a dimensione infinita, che "come sappiamo" non sono così facili da trovare
(possiedo la soluzione fatta da me)
"Consideriamo lo spazio ...
Prove it! Sia [tex]K[/tex] un campo e siano [tex]p(X), q(X) \in K[X][/tex] due polinomi. Dimostrare che se [tex]q(X)[/tex] non è costante, allora esiste un polinomio [tex]f(X) \in K[X][/tex], non identicamente nullo, tale che [tex]p(X) \mid f(q(X))[/tex].
Nota. Niente di particolare, solo un po' di algebra del primo anno, ma trovo comunque la dimostrazione elegante.
"Siano dati una circonferenza C e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su C, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di C"
Questo è il testo del problema. Io ho provato a risolvere questa dimostrazione e, in particolare, sono partita dalla fine, per cercare di capire che tipo di triangolo è. Innanzitutto, se due bisettrici di un triangolo passano ...
Un problema già proposto in passato (se ben ricordo) da Gugo82 nella sezione "english corner", ma che se ben ricordo fini in un nulla di fatto (cioè nessuno fornì una dimostrazione completa).
Dunque lo ripropongo (la soluzione è mia e la posseggo )
"Siano $p_1,...,p_n\in [1,+\infty]$ tali che $\sum_{i=1}^n 1/p_i=1/p<=1$.
Siano $f_1,...,f_n$ funzioni misurabili tali che $f_i\in L^{p_i}(\Omega)$ ove $\Omega\subset RR^n$ aperto.
Allora $\prod_{i=1}^n f_i\in L^p(\Omega)$ e vale $||\prod_{i=1}^n f_i ||_p <=\prod_{i=1}^n ||f_i||_{p_i}$, dove ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo