[EX] Sul perimetro di un aperto piano regolare
Un esercizio fondamentalmente di Analisi II.
I concetti introduttivi (ed anche un po' il problema) forse non sono esposti in maniera troppo formale, ma quello che mi importa qui non è tanto la massima precisione, quanto fornire un'idea.
Se qualcuno volesse mettere a posto i dettagli, gliene sarei molto grato.
***
Alcune definizioni:
***
Esercizio:
Sia [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] un aperto connesso limitato di classe [tex]$C^2$[/tex].
Per fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex], poniamo:
[tex]$\Omega_\varepsilon := \{ x\in \mathbb{R}^2:\ \text{dist} (x,\Omega) <\varepsilon\}$[/tex].
1. Dimostrare che [tex]$\Omega_\varepsilon$[/tex] è l'unione di [tex]$\Omega$[/tex] e di tutti i segmenti di normale uscenti dalla frontiera di ampiezza [tex]$\varepsilon$[/tex] e semiaperti superiormente, ossia:
[tex]$\Omega_\varepsilon :=\Omega \cup \left( \bigcup_{x\in \partial \Omega} \{ x+t\ \nu(x),\ \text{con}\ t\in [0,\varepsilon [ \}\right)$[/tex]
2. Provare che:
(P) [tex]$\mathcal{P} (\Omega) =\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{|\Omega_\varepsilon| -|\Omega|}{\varepsilon}$[/tex].
***
Il limite a destra della precedente si chiama usualmente contenuto esterno di Minkowski di [tex]$\Omega$[/tex].
L'uguaglianza (P) asserisce che il perimetro coincide col contenuto esterno di Minkowski se [tex]$\Omega$[/tex] è sufficientemente regolare. Tuttavia si può dimostrare che il contenuto di Minkowski è ben definito anche nella classe degli insiemi convessi, senza fare evidenti ipotesi di regolarità sulla frontiera.
[N.B.: Le ipotesi di regolarità non sono evidenti, ma sono nascoste nella stessa proprietà di convessità: infatti la maggior parte (nel senso delle categorie di Baire) degli insiemi convessi ha la frontiera regolare almeno di classe [tex]$C^2$[/tex].]
Insomma, la (P) mostra che il contenuto di Minkowski è stato una dei primi tentativi riusciti di generalizzare la definizione di perimetro ad insiemi che non avessero frontiere molto regolari.
Facendo caso al fatto che [tex]$\Omega_\varepsilon =\Omega +B(o;\varepsilon)$[/tex]*, la (P) consente di esprimere [tex]$\mathcal{P} (\Omega)$[/tex] in una forma che ricorda molto il limite di un rapporto incrementale... Sicché, in un certo senso, un perimetro è la derivata di un'area.
__________
* Ricordo che, presi [tex]$A,B\subseteq \mathbb{R}^N$[/tex], l'insieme [tex]$A+B$[/tex] è definito ponendo:
[tex]$A+B := \{ x+y,\ \text{con $x\in A$ ed $y\in B$}\} =\bigcup_{x\in A} x+B =\bigcup_{y\in B} y+A$[/tex]
I concetti introduttivi (ed anche un po' il problema) forse non sono esposti in maniera troppo formale, ma quello che mi importa qui non è tanto la massima precisione, quanto fornire un'idea.
Se qualcuno volesse mettere a posto i dettagli, gliene sarei molto grato.
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Alcune definizioni:
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Esercizio:
Sia [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] un aperto connesso limitato di classe [tex]$C^2$[/tex].
Per fissato [tex]$\varepsilon >0$[/tex], poniamo:
[tex]$\Omega_\varepsilon := \{ x\in \mathbb{R}^2:\ \text{dist} (x,\Omega) <\varepsilon\}$[/tex].
1. Dimostrare che [tex]$\Omega_\varepsilon$[/tex] è l'unione di [tex]$\Omega$[/tex] e di tutti i segmenti di normale uscenti dalla frontiera di ampiezza [tex]$\varepsilon$[/tex] e semiaperti superiormente, ossia:
[tex]$\Omega_\varepsilon :=\Omega \cup \left( \bigcup_{x\in \partial \Omega} \{ x+t\ \nu(x),\ \text{con}\ t\in [0,\varepsilon [ \}\right)$[/tex]
2. Provare che:
(P) [tex]$\mathcal{P} (\Omega) =\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{|\Omega_\varepsilon| -|\Omega|}{\varepsilon}$[/tex].
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Il limite a destra della precedente si chiama usualmente contenuto esterno di Minkowski di [tex]$\Omega$[/tex].
L'uguaglianza (P) asserisce che il perimetro coincide col contenuto esterno di Minkowski se [tex]$\Omega$[/tex] è sufficientemente regolare. Tuttavia si può dimostrare che il contenuto di Minkowski è ben definito anche nella classe degli insiemi convessi, senza fare evidenti ipotesi di regolarità sulla frontiera.
[N.B.: Le ipotesi di regolarità non sono evidenti, ma sono nascoste nella stessa proprietà di convessità: infatti la maggior parte (nel senso delle categorie di Baire) degli insiemi convessi ha la frontiera regolare almeno di classe [tex]$C^2$[/tex].]
Insomma, la (P) mostra che il contenuto di Minkowski è stato una dei primi tentativi riusciti di generalizzare la definizione di perimetro ad insiemi che non avessero frontiere molto regolari.
Facendo caso al fatto che [tex]$\Omega_\varepsilon =\Omega +B(o;\varepsilon)$[/tex]*, la (P) consente di esprimere [tex]$\mathcal{P} (\Omega)$[/tex] in una forma che ricorda molto il limite di un rapporto incrementale... Sicché, in un certo senso, un perimetro è la derivata di un'area.
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* Ricordo che, presi [tex]$A,B\subseteq \mathbb{R}^N$[/tex], l'insieme [tex]$A+B$[/tex] è definito ponendo:
[tex]$A+B := \{ x+y,\ \text{con $x\in A$ ed $y\in B$}\} =\bigcup_{x\in A} x+B =\bigcup_{y\in B} y+A$[/tex]
Risposte
Gugo, se sei interessato a intorni tubolari, contenuti di Minkowski ecc... dai un occhio al mio ultimo lavoro: abbiamo dimostrato un risultato di $\Gamma$-convergenza per perimetri anisotropi di insiemi proprio a partire da intorni tubolari anisotropi.
Lo trovo qui: http://cvgmt.sns.it/cgi/get.cgi/papers/lislus10/
Lo trovo qui: http://cvgmt.sns.it/cgi/get.cgi/papers/lislus10/
[OT]
Grazie della segnalazione Luca.
A dire il vero, ogni tanto il CVGMT lo bazzico; però era da tempo che non ci facevo una capatina.
[/OT]
Grazie della segnalazione Luca.
A dire il vero, ogni tanto il CVGMT lo bazzico; però era da tempo che non ci facevo una capatina.
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