Maratona di problemi 2
[xdom="Fioravante Patrone"]Ricopio qui quanto detto da elgiovo, che aveva sollevato il problema di questo thread (io ho "retrodatato" la divisione fra prima e seconda parte per comodità di accesso al database):
Questo thread è la continuazione di "Maratona di problemi", che avendo raggiunto 50 pagine non può più contenere post.[/xdom]
Questo thread è la continuazione di "Maratona di problemi", che avendo raggiunto 50 pagine non può più contenere post.[/xdom]
Risposte
Problema:
calcolare $sum_(n=1)^infty (n!)^2/((2n)!)$
calcolare $sum_(n=1)^infty (n!)^2/((2n)!)$
Si ha che $((n!)^2)/((2n)!)=((2n),(n))^(-1)$, dunque si cerca la somma $sum_(n=1)^oo 1/(((2n),(n)))$.
Un noto sviluppo in serie è $(2xarcsinx)/sqrt(1-x^2)=sum_(n=1)^oo ((2x)^(2n))/(n((2n),(n)))$.
Derivando ambo i membri, $(2arcsinx + xsqrt(1 - x^2))/(1 - x^2)^(3/2)=sum_(n=1)^oo(2^(2n+1)x^(2n-1))/(((2n),(n)))=4sum_(n=1)^oo((2x)^(2n-1))/(((2n),(n)))=F(x)$.
La somma cercata è allora $1/4 F(1/2)=(2 sqrt3 pi + 9)/27$.
Un noto sviluppo in serie è $(2xarcsinx)/sqrt(1-x^2)=sum_(n=1)^oo ((2x)^(2n))/(n((2n),(n)))$.
Derivando ambo i membri, $(2arcsinx + xsqrt(1 - x^2))/(1 - x^2)^(3/2)=sum_(n=1)^oo(2^(2n+1)x^(2n-1))/(((2n),(n)))=4sum_(n=1)^oo((2x)^(2n-1))/(((2n),(n)))=F(x)$.
La somma cercata è allora $1/4 F(1/2)=(2 sqrt3 pi + 9)/27$.
Bene! A te il prossimo.
[size=150]Problema[/size]
Calcolare $sum_k ((n+k),(2k))2^(n-k)$, in cui $n>=0$.
Calcolare $sum_k ((n+k),(2k))2^(n-k)$, in cui $n>=0$.
Avrei trovato questa soluzione:
$S_n=(2^(2n+1)+1)/3$
Il ragionamento ,in qualche punto un po' ...sintetico,è come segue.
Poiché il coefficiente binomiale $((n),(k))$ si considera nullo se n=2k>=0$ da cui $0<=k<=n$ e quindi la nostra somma diventa $S_n=sum_(k=0)^n text( )((n+k),(2k))2^(n-k)$.Sostituendo n con n-1 si trova che $S_(n-1)=sum_(k=0)^(n-1) text( )((n+k-1),(2k))2^(n-k-1)$ e quindi sottraendo,con calcoli che non riporto altrimenti ci metterei una vita a scriverli con MathML,si ricava la relazione:
$S_n-S_(n-1)=2^(2n-1)$
Questa è una ordinaria equazione alle differenze finite e l'equazione caratteristica dell'omogenea associata è $lambda^n-lambda^(n-1)=0$ la cui unica soluzione (non banale ) è $lambda =1$.Pertanto la soluzione generale si può mettere nella forma $S_n=C_0+C_1*2^(2n-1)$ con $C_0,C_1$ costanti da determinare.
Poiché è $S_1=3,S_2=11$ si ha il sistema :
${(C_0+2C_1=3),(C_0+8C_1=11):}$ da cui le soluzioni $C_0=1/3,C_1=4/3$ e dunque :
$S_n=1/3+(2^2/3)*2^(2n-1)=1/3+(2^(2n+1))/3=(2^(2n+1)+1)/3$
Certamente ci saranno procedimenti più accurati del mio....specie per la parte mancante!!
Non ho molto da offrire per la continuazione del gioco,qualora la mia soluzione fosse valida, se non un esercizietto di algebra ultraelementare.Precisamente:
Si dimostri che l'equazione $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+5x^2-6x+7=0$ non ha radici in R.Naturalmente restano escluse soluzioni che si appoggino su software matematici o grafici
Ciao
$S_n=(2^(2n+1)+1)/3$
Il ragionamento ,in qualche punto un po' ...sintetico,è come segue.
Poiché il coefficiente binomiale $((n),(k))$ si considera nullo se n
$S_n-S_(n-1)=2^(2n-1)$
Questa è una ordinaria equazione alle differenze finite e l'equazione caratteristica dell'omogenea associata è $lambda^n-lambda^(n-1)=0$ la cui unica soluzione (non banale ) è $lambda =1$.Pertanto la soluzione generale si può mettere nella forma $S_n=C_0+C_1*2^(2n-1)$ con $C_0,C_1$ costanti da determinare.
Poiché è $S_1=3,S_2=11$ si ha il sistema :
${(C_0+2C_1=3),(C_0+8C_1=11):}$ da cui le soluzioni $C_0=1/3,C_1=4/3$ e dunque :
$S_n=1/3+(2^2/3)*2^(2n-1)=1/3+(2^(2n+1))/3=(2^(2n+1)+1)/3$
Certamente ci saranno procedimenti più accurati del mio....specie per la parte mancante!!
Non ho molto da offrire per la continuazione del gioco,qualora la mia soluzione fosse valida, se non un esercizietto di algebra ultraelementare.Precisamente:
Si dimostri che l'equazione $x^6-2x^5+3x^4-4x^3+5x^2-6x+7=0$ non ha radici in R.Naturalmente restano escluse soluzioni che si appoggino su software matematici o grafici
Ciao
La tua soluzione invece mi sembra ottima. Di seguito ne riporto un'altra:
Sia $F$ la funzione generatrice della sequenza: allora
$F=sum_n sum_k ((n+k),(2k))2^(n-k) x^n=sum_k2^(-k)sum_n((n+k),(2k))2^nx^n=sum_k2^(-k)(2x)^(-k)sum_n((n+k),(2k))(2x)^(n+k)$
$=sum_k2^(-k)(2x)^(-k) ((2x)^(2k))/((1-2x)^(2k+1))=1/(1-2x)sum_k{x/(1-2x)^2}^k=1/(1-2x) 1/(1-x/(1-2x)^2)=2/(3(1-4x))+1/(3(1-x))$.
A questo punto è facile uguagliare i coefficienti di $x^n$ e ottenere la risposta.
PS1: dopo il quarto segno di uguale si è sfruttata l'uguaglianza $sum_r ((r),(k))x^r=(x^k)/(1-x)^(k+1)$.
PS2: il metodo di invertire le sommatorie è noto come "Snake Oil".
Sia $F$ la funzione generatrice della sequenza: allora
$F=sum_n sum_k ((n+k),(2k))2^(n-k) x^n=sum_k2^(-k)sum_n((n+k),(2k))2^nx^n=sum_k2^(-k)(2x)^(-k)sum_n((n+k),(2k))(2x)^(n+k)$
$=sum_k2^(-k)(2x)^(-k) ((2x)^(2k))/((1-2x)^(2k+1))=1/(1-2x)sum_k{x/(1-2x)^2}^k=1/(1-2x) 1/(1-x/(1-2x)^2)=2/(3(1-4x))+1/(3(1-x))$.
A questo punto è facile uguagliare i coefficienti di $x^n$ e ottenere la risposta.
PS1: dopo il quarto segno di uguale si è sfruttata l'uguaglianza $sum_r ((r),(k))x^r=(x^k)/(1-x)^(k+1)$.
PS2: il metodo di invertire le sommatorie è noto come "Snake Oil".
Applicando la regola di Cartesio al polinomio, otteniamo che il numero massimo di soluzioni positive è 6,
mentre il numero massimo di soluzioni negative è 0 (infatti non vi sono variazioni cambiando di segno le potenze dispari),
quindi le soluzioni reali, se esistono, sono tutte positive.
E' poi possibile limitare l'intervallo contentente gli eventuali zeri: infatti dato il polinomio monico $x^n+a_(n-1)x^(n-1)+ldots+a_1x+a_0$
è noto che gli zeri si trovano nell'intevallo $[-gamma-1,gamma+1]$, con $gamma=max{|a_(n-1)|,ldots,|a_1|,|a_0|}$. Nel nostro caso $gamma=7$.
La catena di Sturm associata al polinomio è
$P_0(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3+5x^2-6x+7$
$P_1(x)=P_0'=6x^5-10x^4+12x^3-12x^2+10x-6$
$P_2(x)=-[P_0/P_1]=-4/9(x^4-3x^3+6x^2-10x+15)$
$P_3(x)=-[P_1/P_2]=-567/2$
dove $[(P(x))/(Q(x))]$ è il resto della divisione polinomiale.
Se $x=0$ la sequenza di Sturm conta una variazione, lo stesso se $x=8$. Dunque il numero di radici in $[0,8]$ e di conseguenza in $RR$ è $1-1=0$.
mentre il numero massimo di soluzioni negative è 0 (infatti non vi sono variazioni cambiando di segno le potenze dispari),
quindi le soluzioni reali, se esistono, sono tutte positive.
E' poi possibile limitare l'intervallo contentente gli eventuali zeri: infatti dato il polinomio monico $x^n+a_(n-1)x^(n-1)+ldots+a_1x+a_0$
è noto che gli zeri si trovano nell'intevallo $[-gamma-1,gamma+1]$, con $gamma=max{|a_(n-1)|,ldots,|a_1|,|a_0|}$. Nel nostro caso $gamma=7$.
La catena di Sturm associata al polinomio è
$P_0(x)=x^6-2x^5+3x^4-4x^3+5x^2-6x+7$
$P_1(x)=P_0'=6x^5-10x^4+12x^3-12x^2+10x-6$
$P_2(x)=-[P_0/P_1]=-4/9(x^4-3x^3+6x^2-10x+15)$
$P_3(x)=-[P_1/P_2]=-567/2$
dove $[(P(x))/(Q(x))]$ è il resto della divisione polinomiale.
Se $x=0$ la sequenza di Sturm conta una variazione, lo stesso se $x=8$. Dunque il numero di radici in $[0,8]$ e di conseguenza in $RR$ è $1-1=0$.
bella soluzione quella con Sturm...
Alla prossima.
Ciao
Alla prossima.
Ciao
[size=150]Problema[/size]
Le componenti $bbv_x$, $bbv_y$ e $bbv_z$ della velocità $bbv=sqrt(bbv_x^2+bbv_y^2+bbv_z^2)$ di una particella sono VA indipendenti, a media nulla e varianza pari a $(kT)/m$.
La loro densità congiunta ha simmetria sferica. Trovare la densità di $bbv$ e i valori $E{bbv}$, $E{bbv^2}$, $E{bbv^4}$.
Le componenti $bbv_x$, $bbv_y$ e $bbv_z$ della velocità $bbv=sqrt(bbv_x^2+bbv_y^2+bbv_z^2)$ di una particella sono VA indipendenti, a media nulla e varianza pari a $(kT)/m$.
La loro densità congiunta ha simmetria sferica. Trovare la densità di $bbv$ e i valori $E{bbv}$, $E{bbv^2}$, $E{bbv^4}$.
Altro problema: dimostrare che
$sum_(n=1)^oo ((-1)^(n+1))/((1+sqrt2)^(2n+1)+(1-sqrt2)^(2n+1)+2(-1)^(n+1))=(sqrt2-1)/8$.
$sum_(n=1)^oo ((-1)^(n+1))/((1+sqrt2)^(2n+1)+(1-sqrt2)^(2n+1)+2(-1)^(n+1))=(sqrt2-1)/8$.
scusate , qualcuno mi puo spiegare come si ricava l'equazione associata ad una successione definita per ricorrenza??
grazie infinite
grazie infinite
uffa ma perchè i problemi sono che postare sono al 90% calcolare delle serie? io non le so fare
"elgiovo":
Altro problema: dimostrare che
$sum_(n=1)^oo ((-1)^(n+1))/((1+sqrt2)^(2n+1)+(1-sqrt2)^(2n+1)+2(-1)^(n+1))=(sqrt2-1)/8$.
Scusa elgiovo, ma non ci dai un suggerimento?
Hint:
ora vi sfido io:
voglio l'inversa della matrice:
5*10^5 1.65*10^5 1.65*10^5
1.65*10^5 5*10^5 1.65*10^5
1.65*10^5 1.65*10^5 5*10^5
sapete aiutarmi per favore???
voglio l'inversa della matrice:
5*10^5 1.65*10^5 1.65*10^5
1.65*10^5 5*10^5 1.65*10^5
1.65*10^5 1.65*10^5 5*10^5
sapete aiutarmi per favore???
"elgiovo":
[size=150]Problema[/size]
Le componenti $bbv_x$, $bbv_y$ e $bbv_z$ della velocità $bbv=sqrt(bbv_x^2+bbv_y^2+bbv_z^2)$ di una particella sono VA indipendenti, a media nulla e varianza pari a $(kT)/m$.
La loro densità congiunta ha simmetria sferica. Trovare la densità di $bbv$ e i valori $E{bbv}$, $E{bbv^2}$, $E{bbv^4}$.
Premetto che non sono a conoscenza della definizione di densità congiunta (o cosa significa applicata a una velocità), per cui se elgiovo ce la fornisce cerco di completare il problema.
1- $v$ è la somma vettoriale delle sue componenti ortogonali, e tutte hanno media nulla, per cui l'avrà anche v stessa.
2- Chiamati $1,2,3$ rispettivamente $x,y,z$, avremo che $E[v^2]=E[\sum{v_i^2}]=\sum{E[v_i^2]}=\sum{\sigma^2[v_i]}=3k\frac{T}{m}$. (Ad intuito sono temperatura e massa vero?)
3- Con la stessa notazione, abbiamo $E[v^4]=\sigma^2[v^2]-E^2[v^2]=\sigma^2[\sum{v_i}^2]-E^2[v^2]=y(1-y)$, dove $y=3k\frac{T}{m}$, ed è massimizzata in $T=\frac{m}{6k}$ per am-gm.
La densità congiunta delle variabili aleatorie $X_1,X_2,ldots,X_N$ è la funzione $f_(X_1X_2ldotsX_N)(x_1,x_2,ldots,x_N) in L^1(RR^N)$ tale per cui
$"Pr"[X_1,X_2,ldots,X_N in D]=int int ldots int_D f_(X_1X_2ldotsX_N)(x_1,x_2,ldots,x_N) "d"x_1"d"x_2ldots"d"x_N$,
con $D in RR^N$.
Dei tre punti del tuo ragionamento, solo il secondo è corretto. Suggerimento (termodinamico): $bbv$ presenta una densità di tipo "Maxwell".
$"Pr"[X_1,X_2,ldots,X_N in D]=int int ldots int_D f_(X_1X_2ldotsX_N)(x_1,x_2,ldots,x_N) "d"x_1"d"x_2ldots"d"x_N$,
con $D in RR^N$.
Dei tre punti del tuo ragionamento, solo il secondo è corretto. Suggerimento (termodinamico): $bbv$ presenta una densità di tipo "Maxwell".
Ricordo che si stava lavorando sul seguente
[size=150]Problema[/size]
Le componenti $bbv_x$, $bbv_y$ e $bbv_z$ della velocità $bbv=sqrt(bbv_x^2+bbv_y^2+bbv_z^2)$ di una particella sono VA indipendenti, a media nulla e varianza pari a $(kT)/m$.
La loro densità congiunta ha simmetria sferica. Trovare la densità di $bbv$ e i valori $E{bbv}$, $E{bbv^2}$, $E{bbv^4}$.
[size=150]Problema[/size]
Le componenti $bbv_x$, $bbv_y$ e $bbv_z$ della velocità $bbv=sqrt(bbv_x^2+bbv_y^2+bbv_z^2)$ di una particella sono VA indipendenti, a media nulla e varianza pari a $(kT)/m$.
La loro densità congiunta ha simmetria sferica. Trovare la densità di $bbv$ e i valori $E{bbv}$, $E{bbv^2}$, $E{bbv^4}$.
"elgiovo":
[size=150]Problema[/size]
Le componenti $bbv_x$, $bbv_y$ e $bbv_z$ della velocità $bbv=sqrt(bbv_x^2+bbv_y^2+bbv_z^2)$ di una particella sono VA indipendenti, a media nulla e varianza pari a $(kT)/m$.
La loro densità congiunta ha simmetria sferica. Trovare la densità di $bbv$ e i valori $E{bbv}$, $E{bbv^2}$, $E{bbv^4}$.
Per comodità chiamerò le componenti della velocità $a$, $b$ e $c$ e la varianza di ciascuna di esse $sigma^2$.
La ddp della velocità $v$ è:
$f_V(v)=intintint_([0,+infty]^3) f_A(a)f_B(b)f_C(c) delta(v-sqrt(a^2+b^2+c^2))dadbdc=$
$=int_0^(2pi)dphi int_0^pi sintheta d\theta int_0^(+infty) rho^2 f_(ABC)(rho) delta(v-rho) drho=$
$=4piv^2f_(ABC)(v)=(4pi)/((2pisigma^2)^(3/2))v^2e^(-v^2/(2sigma^2))$.
Pertanto:
$E[V]=int_0^(+infty) vf_V(v)dv=(4pi)/((2pisigma^2)^(3/2))int_0^(+infty) v^3 e^(-v^2/(2sigma^2))dv=$
$=(4pisigma^2)/((2pisigma^2)^(3/2))int_0^(+infty) t/(2sigma^2) e^(-t/(2sigma^2))dt=2sigmasqrt(2/pi)$
dato che l'ultimo integrale è il valore atteso di una v.a. esponenziale negativa di parametro $lambda=1/(2sigma^2)$.
Come già detto, $E[V^2]=3sigma^2$
$E[V^4]=E[(sum_i V_i^2)^2]=E[sum_i V_i^4 +2sum_(i
Ineccepibile.
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