[EX] Convergenza uniforme
Un esercizietto facile per chi prepara Analisi II.
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Ricordo una definizione:
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Esercizio:
Siano [tex]$I,J\subseteq \mathbb{R}$[/tex] intervalli, [tex]$F:I\to \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$(\phi_n)$[/tex] una successione di funzioni di [tex]$J$[/tex] in [tex]$I$[/tex] (cioè per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] risulta [tex]$\phi_n: J\to I$[/tex]).
1. Dimostrare che se:
I) [tex]$F$[/tex] è una funzione hölderiana in [tex]$I$[/tex] e
II) [tex]$(\phi_n)$[/tex] converge uniformemente in [tex]$J$[/tex] verso una funzione [tex]$\phi$[/tex],
allora la successione di funzioni definita in [tex]$J$[/tex] ponendo per ogni [tex]$n$[/tex]:
[tex]$f_n :=F\circ \phi_n$[/tex] (ossia per [tex]$x\in J,\ f_n(x)=F(\phi_n(x))$[/tex])
è anch'essa uniformemente convergente in [tex]$J$[/tex] ed ha per limite uniforme la funzione [tex]$f:=F\circ \phi$[/tex].
2. Se al posto della I) in 1 si sostituisce la più debole:
i) [tex]$F$[/tex] è uniformemente continua in [tex]$I$[/tex],
è ancora possibile acquisire la tesi?
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Ricordo una definizione:
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Esercizio:
Siano [tex]$I,J\subseteq \mathbb{R}$[/tex] intervalli, [tex]$F:I\to \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$(\phi_n)$[/tex] una successione di funzioni di [tex]$J$[/tex] in [tex]$I$[/tex] (cioè per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] risulta [tex]$\phi_n: J\to I$[/tex]).
1. Dimostrare che se:
I) [tex]$F$[/tex] è una funzione hölderiana in [tex]$I$[/tex] e
II) [tex]$(\phi_n)$[/tex] converge uniformemente in [tex]$J$[/tex] verso una funzione [tex]$\phi$[/tex],
allora la successione di funzioni definita in [tex]$J$[/tex] ponendo per ogni [tex]$n$[/tex]:
[tex]$f_n :=F\circ \phi_n$[/tex] (ossia per [tex]$x\in J,\ f_n(x)=F(\phi_n(x))$[/tex])
è anch'essa uniformemente convergente in [tex]$J$[/tex] ed ha per limite uniforme la funzione [tex]$f:=F\circ \phi$[/tex].
2. Se al posto della I) in 1 si sostituisce la più debole:
i) [tex]$F$[/tex] è uniformemente continua in [tex]$I$[/tex],
è ancora possibile acquisire la tesi?
Risposte
La condizione di cauchy per le successioni uniformemente convergenti mi consente di concludere positivamente, basta sostituire a $x$ e a $y$ $phi_n(t)$ e $phi_m(t)$ con $n,m >N$ $N$ scelto opprtunamente grande datasi la presenza di $L$.
Per la convergenza della successione di funzioni composte, diciamo, bloccando la $n$ e facendo tendere $m->oo$ direi che la continuità di $F$ mi permette di rispondere positivamente al primo quesito.
Nell'ipotesi più debole, penso di farcela lo stesso, $L=alpha=1$.
PS
Ancora mi ricordo qualcosa di analisi II?
Per la convergenza della successione di funzioni composte, diciamo, bloccando la $n$ e facendo tendere $m->oo$ direi che la continuità di $F$ mi permette di rispondere positivamente al primo quesito.
Nell'ipotesi più debole, penso di farcela lo stesso, $L=alpha=1$.
PS
Ancora mi ricordo qualcosa di analisi II?
Regim, non si capisce, secondo te la risposta alla 2 è si?
Aspetta ora che mi hai messo la pulce nell'orecchio forse ho risposto al secondo quesito troppo frettolosamente. 
Edit: Per il secondo quesito la motivazione che ho dato è errata, comunque con un opportuna scelta di $N$, posso farcela ad avvicinare i valori $x,y$ quel che basta per dire si, giusto?
Per il limite proseguo come sopra.
Edit: quindi si, direi va bene anche l'ipotesi debole.
Grazie dell'osservazione.
Edit: Per il secondo quesito la motivazione che ho dato è errata, comunque con un opportuna scelta di $N$, posso farcela ad avvicinare i valori $x,y$ quel che basta per dire si, giusto?
Per il limite proseguo come sopra.
Edit: quindi si, direi va bene anche l'ipotesi debole.
Grazie dell'osservazione.
Eh non lo so se è giusto. 
[edit]rimossi suggerimenti e considerazioni varie.
[edit]rimossi suggerimenti e considerazioni varie.
Gzazie dissonance, beh sintetizzo, scrivere tutto sai bene ci vuole troppo tempo, con la tastiera non è la stessa cosa che a mano, ma credo che voi non abbiate problema a capire. Magari Gugo con la sua pazienza formalizzerà il tutto.
Allora dici che non va bene. Vediamo.
Lui dice che $F$ è definita in un intervallo, io per intervallo intendo $[a,b]$. L'uniforme convergenza mi autorizza ad utilizzare la condizione di cauchy per cui, a prescindere da $t$ in $J$ posti $x=phi_n(t)$ e $y=phi_m(t)$ la mia $F$ essendo uniformemente continua, basta che $|x-y|N$ $N$ opportunamente grande, ergo vale la condizione di cauchy per la successione $F(phi_n(t))$ quindi l'uniforme convergenza. poi proseguo come sopra per il limite.
Non so, a me pare che non faccia un piega, poi data l'ora mi sarà sfuggito qualcosa. boh
Allora dici che non va bene. Vediamo.
Lui dice che $F$ è definita in un intervallo, io per intervallo intendo $[a,b]$. L'uniforme convergenza mi autorizza ad utilizzare la condizione di cauchy per cui, a prescindere da $t$ in $J$ posti $x=phi_n(t)$ e $y=phi_m(t)$ la mia $F$ essendo uniformemente continua, basta che $|x-y|
Non so, a me pare che non faccia un piega, poi data l'ora mi sarà sfuggito qualcosa. boh
Visto che non sta rispondendo nessun altro rispondo io, lasciando però la soluzione in spoiler.
Questa dovrebbe essere l'idea di cui parlava regim.
Io invece mi confondevo con una richiesta ancora più debole: e se [tex]F[/tex] è solo continua, cosa si può dire di [tex]F(\phi_n(x))[/tex]?
Questa dovrebbe essere l'idea di cui parlava regim.
Io invece mi confondevo con una richiesta ancora più debole: e se [tex]F[/tex] è solo continua, cosa si può dire di [tex]F(\phi_n(x))[/tex]?
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