[EX] Un controesempio "metrico" in $\RR^N$

[gugo82]

Un esercizietto sulle metriche.
Niente di che, tanto per divertirsi un po' sotto il sole ferragostano.

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Alcuni prerequisiti:

Sia [tex]$X$[/tex] un insieme non vuoto.
Un'applicazione [tex]$d:X\times X\to [0,+\infty[$[/tex] è detta distanza su [tex]$X$[/tex] se e solo se essa gode delle seguenti tre proprietà:

i) per ogni [tex]$x,y\in X$[/tex], [tex]$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$[/tex];

ii) per ogni [tex]$x,y\in X$[/tex], [tex]$d(x,y)=d(y,x)$[/tex];

ii) per ogni [tex]$x,y,z\in X$[/tex], [tex]$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$[/tex].

Una coppia [tex]$(X,d)$[/tex] formata da un insieme non vuoto [tex]$X$[/tex] e da una metrica [tex]$d$[/tex] su di esso è detta spazio metrico; l'insieme [tex]$X$[/tex] è anche detto sostegno dello spazio [tex]$(X,d)$[/tex].

Ad esempio, lo spazio numerico [tex]$N$[/tex]-dimensionale [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] può essere reso spazio metrico con una qualunque delle distanze [tex]$d_p(x,y):=\left\{ \sum_{n=1}^N |x_n-y_n|^p \right\}^\frac{1}{p}$[/tex] con [tex]$p>1$[/tex]; per [tex]$p=2$[/tex] si ritrova la usuale distanza euclidea.

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Esercizio:

1. Si dimostri che, comunque si fissi [tex]$\overline{x}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}^N\setminus \{ o=(0,\ldots ,0)\}$[/tex], esiste una distanza [tex]$\overline{d}$[/tex] su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] tale che [tex]$o$[/tex] sia il punto diverso da [tex]$\overline{x}$[/tex] che dista da [tex]$\overline{x}$[/tex] meno di ogni altro punto di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex], cioè tale che:

[tex]$\forall y\in \mathbb{R}^N\setminus \{ o,\overline{x}\},\quad \overline{d} (\overline{x}, o) < \overline{d} (\overline{x},y)$[/tex].

2. Si può generalizzare questo risultato ad insiemi [tex]$X$[/tex] con più di due elementi?
Cioè, fissati [tex]$\overline{x}\neq \overline{y} \in X$[/tex], esiste una distanza [tex]$\overline{d}$[/tex] su [tex]$X$[/tex] tale che:

[tex]$\forall y\in X\setminus \{ \overline{y} ,\overline{x}\},\quad \overline{d} (\overline{x}, \overline{y}) < \overline{d} (\overline{x},y)$[/tex]?

[gugo82]

Passate due settimane e nessuno prova?
Su, su, che è facile.

Suggerimenti: Si pensi ad una distanza discreta che assuma (almeno) tre valori.

[doppio1]

Partendo direttamente dal secondo caso, definisco $\bar{d}(a,b)$ così: essa è uguale a 0 se $a=b$, è uguale ad 1 se $a=\bar{x}$, $b=\bar{y}$, e il suo simmetrico, ed è uguale a 2 nei casi restanti. Bisogna verificare che effettivamente è una distanza: l'unica proprietà non banale è la diseguaglianza triangolare.
$\bar d(x,y) \leq \bar d(x,z)+ \bar d(y,z)$.
Se tutti e tre i punti sono diversi sia da $\bar{x}$ che da $\bar{y}$, siamo a posto (è in pratica la metrica discreta). Se invece esattamente uno tra i due (x e y) è uguale a $\bar{x}$ (il caso con $\bar y$ è analogo) abbiamo da verificare $\bar d(\bar x,y) \leq \bar d(\bar x,z)+ \bar d(y,z)$. Essa è sicuramente vera se $z \ne \bar y$ e $z \ne \bar x$. Se invece $z = \bar y$ resta ancora vera, lo stesso vale per $z = \bar x$. Analogamente si tratta il caso in cui $x = \bar x$, $y= \bar y$.