Pensare un po' di più

ciao ragazzi recentemente in classe si è discusso di questo teorema: Sia $f$ una funzione misurabile, $f: \Omega \subset RR \to RR$ , con $\mu(\Omega) < oo$ tale che $ fg \in L^1$ $ \forall g \in L^q$ dove p e q sono coniugati. Allora $f \in L^p$. questo risultato si può dimostrare sfruttando la struttura a spazio di Banach degli $L^p$ e i seguenti fatti: a) ogni funzionale lineare continuo sugli $L^p$ è della forma $ f \to int_{\Omega} fg d\mu$ con ...

Anche questo mi è sembrato carino, pertanto ve lo sottopongo. Sono stato raggiunto dalla soluzione (in spoiler, spero corretta) mentre bighellonavo nella vasca da bagno. Sia $r$ la retta di equazione $y=ax$ tangente al grafico di $\gamma : y=e^x$. Qual è la misura in gradi e primi sessagesimali dell'angolo che la retta $r$ forma con il semiasse positivo delle ascisse? Poiché il coefficiente angolare della retta ...

Dimostrare che per ogni intero $b >= 2$ la costante di Eulero-Mascheroni è uguale a $gamma = sum_(n=1)^oo frac(lfloor \log_b n rfloor)(n) { (b - 1 mbox{ se } b mbox{ divide } n ),( -1 quad mbox{ altrimenti} ):} $ [/list:u:1wk2eq0g] dove $lfloor cdot rfloor$ è la funzione parte intera.

Rieccomi a infastidire Volevo parlare dei sottogruppi di Frattini e di Fitting. Quanto segue è ben noto e trovabile in tutti i libri di teoria dei gruppi. Ricordo che un gruppo finito si dice nilpotente se tutti i suoi sottogruppi di Sylow sono normali. In altre parole, un gruppo finito nilpotente non è altro che un prodotto diretto finito di gruppi finiti il cui ordine è una potenza di un primo. Questa non è la definizione usuale di "gruppo finito nilpotente" (quella con le serie ...

Propongo un quesito tratto, credo, da una seconda prova della maturità del liceo scientifico. Ho elaborato una mia soluzione. Se $n>3$ e $((n),(n-1))$,$((n),(n-2))$ e $((n),(n-3))$ sono in progressione aritmetica, qual è il valore di $n$?

Siano $x_0 in (S,d)$ un punto di uno spazio metrico e $C={x in S: d(x,x_0)<=r$ con $r in RR^+$. 1. Si provi che $C$ è un insieme chiuso. (molto facile) 2. Si provi che $C supe bar{B}(x_0,r)$, dove $B(x_0,r)={x in S: d(x,x_0)<r}$. In particolare non è detto che $C = bar{B}(x_0,r)$, come invece avviene in $RR^n$ con la metrica euclidea. (tosto)

dimostrare o confutare: per ogni famiglia di insiemi $E$ ordinata tramite l'inclusione dotata di sup$(a,b)$per ogni $a,b$ esiste una famiglia di insiemi $F$ isomorfa ad $E$ come insieme ordinato tale che valga sup$(a,b)=aUb$ questa è una congettura che ha fatto un mio amico a scuola,la nostra opinione è che sia vera. in altre parole dice che ogni insieme parzialmente ordinato dotato di sup può esser visto come una ...

Ho un problema di ottimizzazione, una volta tanto non di analisi matematica. Si tratta di trovare un algoritmo per risolvere il seguente problema. Abbiamo una collezione di oggetti di valore, $o_1, \ldots, o_n$ e una collezione di persone $p_1,\ldots,p_m$. Ogni oggetto di valore ha, naturalmente, un suo valore $v_j \in \{1, 2, 3\}$; inoltre, ogni oggetto di valore ha un cartellino sul quale compaiono uno o più nomi delle persone di cui sopra, che sono le uniche che se ne possono ...

Come al solito, sia [tex]$\ell^2=\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] lo spazio delle successioni reali bilatere [tex]$x=(x_n)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex] tali che: [tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n^2 <+\infty$[/tex]; tale spazio è di Hilbert con prodotto scalare: [tex]$\langle x,y\rangle =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_ny_n$[/tex] e norma indotta: [tex]$\lVert x \rVert_2 =\left\{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_n^2 \right\}^{\frac{1}{2}}$[/tex]. *** Esercizio: Fissato [tex]$\theta \in ]0,1[$[/tex], per ogni [tex]$x=(x_n) \in \ell^2$[/tex] poniamo: [tex]$Tx:= \big( \theta x_{n-1} +(1-\theta) x_{n+1} \big)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex]. 1. Mostrare che [tex]$T$[/tex] è un ...

Partendo dalla validità della disugualgianza isoperimetrica per insiemi con frontiera regolare (che si può trovare alle pag. 17 - 18 di questo articolo http://www-ma1.upc.es/~cabre/probgeo-subm.pdf - con un'interessante dimostrazione che parte dal problema di Neumann per il Laplaciano), dimostrare la validità della disuguaglianza di Gagliardo - Niremberg (e di conseguenza quella di Sobolev, immediato corollario) [tex]\| u \|_{L^{\frac{N}{N-1}}(\mathbb{R}^N)}\leq C \| \nabla u \|_{L^{1}(\mathbb{R}^N)}[/tex] per ...

È cosa nota che la successione di termine generale [tex]$\tau_n:=(1+\tfrac{1}{n})^n$[/tex] è crescente e limitata dall'alto, sicché essa tende ad un limite finito; si dimostra poi che il limite di tale successione coincide con il numero di Nepero [tex]$e$[/tex], definito ponendo: [tex]$e:=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$[/tex]. Tuttavia la convergenza della successione [tex]$\tau_n$[/tex] è "abbastanza lenta": infatti si può vedere che per [tex]$N=10^3$[/tex] si ha ...

Sia [tex]M \subseteq \mathbb R^3[/tex] una superficie immersa in [tex]\mathbb R^3[/tex]. Sia [tex]p \in M[/tex]; denotiamo con [tex]\text{Hol}(p)[/tex] il suo gruppo di olonomia. 1) Si calcoli [tex]\text{Hol}(p)[/tex] nel caso in cui [tex]M[/tex] sia una sfera; 2) si dimostri che [tex]\text{Hol}(p) \subseteq O(T_p M)[/tex], dove [tex]O(T_p M)[/tex] denota il gruppo delle trasformazioni ortogonali di [tex]T_p M[/tex] in sé (si assuma, naturalmente, come prodotto scalare la prima forma ...

espongo una congettura che ho fatto sulle cardinalità infinite;è da mesi che cerco di provarla ma senza risultati. premetto che voglio assumere l'assioma della scelta, ma non voglio assumere l'ipotesi del continuo generalizzata(o il problema diventa banale). ultima precisazione: se A e B sono insiemi infiniti, denoto con $A^B$ l'insieme contenente tutte le funzioni definite in B con immagine in A ipotesi: siano A,B,C insiemi di cardinalità infinita tali che $|A|<=|B|$ e ...

Esercizio. Siano [tex]n[/tex] e [tex]d[/tex] due interi positivi; sia inoltre [tex]\varphi (x) \in \mathbb{C}[x][/tex] un polinomio di grado al più [tex]d[/tex]. Sia [tex]V \subset \mathbb{C}[x][/tex] il sottospazio vettoriale dei polinomi di grado al più [tex]n[/tex] a coefficienti complessi. Si definisca un operatore lineare [tex]T: V \to V[/tex] che manda [tex]f(x) \mapsto \varphi(x)f^{d}(x)[/tex], (dove con [tex]f^{d}[/tex] indichiamo la derivata [tex]d[/tex]-esima di [tex]f[/tex]). Si ...

Propongo un semplice ma carin problemino di minimo, in particolare a tutti coloro che, come me, si stanno preparando per la maturità. Dato un rettangolo di perimetro $4p$, costruire esternamente al rettangolo i quattro semicerchi aventi come diametri i lati del rettangolo stesso. Determinare i lati del rettangolo in modo che la superificie così ottenuta sia minima. In spoiler la mia soluzione. Si consideri il rettangolo $ABCD$ di base ...

Una questione sicuramente ultra-trattata nei testi ma che penso sia simpatico provare a vedere amatorialmente tra noi. Il punto 1 è un esercizio standard, il punto 2 una domanda della quale non conosco la risposta. Sia [tex]V[/tex] uno spazio vettoriale reale di dimensione finita [tex]n[/tex]. Per ogni base [tex]e=(e_1 \ldots e_n)[/tex] di [tex]V[/tex] sia [tex]\varphi_e[/tex] l'applicazione definita da [tex]$\varphi_e\left(\sum_{j=1}^nv^j e_j\right)=(v^1 \ldots v^n)[/tex].<br /> <br /> Ogni [tex]\varphi_e[/tex] è un isomorfismo di spazi vettoriali di [tex]V[/tex] su [tex]\mathbb{R}^n[/tex].<br /> <br /> <strong>1)</strong> Dimostrare che esiste un'unica topologia su [tex]V[/tex] tale che ogni [tex]\varphi_e[/tex] è un omeomorfismo. <br /> <strong>1b)</strong> [size=75]domanda bonus non necessaria per il seguito[/size] Dimostrare che esiste un'unica struttura di varietà differenziabile su [tex]V[/tex] tale che ogni coppia [tex](V, \varphi_e)[/tex] è un sistema di coordinate locali.<br /> <br /> <strong>2)</strong> Rispetto alla topologia introdotta al punto 1), le applicazioni <br /> <br /> [tex]$+ \colon V \times V \to V,\quad \cdot\colon \mathbb{R} \times V ...

Mi sto allenando per le olimpiadi, e mi sono trovato difronte a questa equazione: [tex]x^y=y^{17} -1[/tex], non ho molta praticità con le equazioni diofantee, vorrei che qualcuno mi illuminasse sulla possibile soluzione, trovare cioè x ed y interi positivi.

Visto il successo dell'ultimo esercizio proposto, ci provo con quest'altro. Sia $f: (0,+\infty) \to [0,+\infty)$ una funzione monotona decrescente. Dimostrare che per ogni $p\in [1,+\infty)$ e ogni $T>0$ si ha che $p\int_0^T f(s) s^{p-1} ds \le (\int_0^T f(s)^{1/p} ds)^p$. In questa generalità è pensato come esercizio di analisi reale; con l'ulteriore ipotesi $f\in C([0,+\infty))$ può essere risolto con conoscenze di analisi 1.

Qualche ragionamento sconclusionato. Probabilmente è notissimo, ma non sono riuscito a trovarlo da nessuna parte, e allora ho deciso di scriverlo qui, per chiarirmi le idee e per sottoporlo alla vostra critica. La domanda che mi sono fatto è questa: è notissimo che $|\int_X f(x) dx|<=\int_X |f(x)| dx$. Quando vale l'uguaglianza? C'ho perso un po' di tempo e ci sono arrivato per generalizzazioni successive. Supponiamo la funzione a valori reali (a seconda di quel che si vuol fare la si può supporre ...

Propongo un esercizio, presente sul mio libro di liceo, che mi è parso carino. Non mi è sembrato troppo banale (anche se di certo lo sarà per i signori che abitualmente frequentano quest'area), indi per cui ho deciso di postarlo qui, sperando che sia la sezione giusta; qualora non lo sia, chiedo scusa anticipatamente. Verificare che il valore di $x$ che rende minima la somma dei quadrati: $y=(x-a_1)^2+(x-a_2)^2+...+(x-a_n)^2$ dove le $a_i$ sono numeri positivi dati e ...