Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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"Un punto $(x,y)$ del piano cartesiano si dirà razionale se $x$ e $y$ sono numeri razionali.
Data una qualunque circonferenza del piano cartesiano avente centro razionale, si provi che se essa contiene un punto razionale, allora contiene infiniti punti razionali."
L'equazione trigonometrica della circonferenza è
$x=rcosalpha+x_0$
$y=rsenalpha+y_0$
dove $r$ è il raggio e $C(x_0;y_0)$ è il centro della circonferenza. Quindi per ...
"Si determinino gli interi positivi $k$ tali che il polinomio $x^5+x^4+x^3+kx^2+x+1$ sia prodotto di polinomi a coefficienti interi di grado minore di cinque"
Ho provato ad usare Ruffini, cioè a dire che se $a$ è una soluzione del polinomio allora
$x^5+x^4+x^3+kx^2+x+1=(x-a)(x^4+(a+1)x^3+(a^2+a+1)x^2+(a^3+a^2+a+k)x+(a^4+a^3+a^2+ak+1))$
e affinché il resto della divisione con Ruffini del polinomio per $x-a$ sia zero, $a^5+a^4+a^3+ka^2+a+1=0$, cioè il polinomio iniziale..
Forse la strada di Ruffini è sbagliata.. Non so come andare ...
"L'eguaglianza $p!+q!+r! =s!$ è soddisfatta per $p=q=r=2$ e $s=3$. Dire se esistono altri numeri interi positivi per cui tale eguaglianza è vera."
La mia risposta è che non ci sono altri numeri interi che soddisfano l'eguaglianza e ho cercato di dimostrarlo.
Ponendo che $p$ sia il minore dei 4 numeri posso scrivere ciascuno degli altri numeri in questo modo:
$q! =q*(q-1)...(p+1)*p*(p-1)...3*2*1=q*(q-1)...(p+1)*p!$
E l'uguaglianza ...
Vi propongo questo esercizietto, non troppo difficile.
Siano $z_1,z_2,z_3 \in CC$, tutti di moduli unitario. Se $z_1+z_2+z_3=0$ allora questi formano un triangolo equilatero sul piano di Gauss.
Ciò che più mi interessa è cercare di risolverlo in maniera "compatta", dato che l'ho risolto, ma con un po' di conti, in modo da generalizzare il risultato alla somma di $n$ numeri.
"Per la costruzione di un certo ponte si prevede che il costo di ogni arcata sarà $18*s^2$ miliardi di lire, dove $s$ è la distanza in chilometri fra i due piloni di sostegno di quell'arcata, mentre il costo di ogni pilone sarà di mezzo miliardo. Se il ponte deve essere lungo 3 chilometri quale sarà il minimo costo dell'opera?"
La mia domanda è soprattutto se è giusto considerare che i tratti $s$ debbano essere tutti uguali. Tali tratti sono a somma ...
"Sia $n$ un intero maggiore di 2. Mostrare che la somma dei cubi dei numeri che sono primi con $n$ e inferiori a esso è divisibile per $n$."
Vediamo se ho capito. Preso $n$, che si fattorizzerà in $n_1*n_2*...$, devo prendere i numeri $a$, $b$, e così via, che non hanno alcun fattore in comune con $n$, con $a,b...<n$, e si ha
$a^3+b^3...=0$ $(mod n)$.
Come devo ...
"Trovare quattro numeri interi positivi $a$, $b$, $c$, $d$, in modo che per ogni numero razionale positivo $x$ risulti
$|(ax+b)/(cx+d) - sqrt2|<1/(10)|x-sqrt2|$.
Utilizzando la formula trovata, calcolare $sqrt2$ con l'approssimazione di $10^(-3)$."
Allora, per la prima parte dell'esercizio non ci sono grossi problemi: penso che ci siano diversi modi per trovare quei quattro numeri, ad esempio io ho trovato
$|(10sqrt2x+18)/(9x+10sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$, ...
Premetto che conosco già la soluzione del quesito, e voglio solo proporre a chi ha piacere la seguente questione.
Anche per vedere se qualcuno prende strade diverse dalla "ufficiale", che ho letto dopo una mezzoretta di vani tentativi (perché ero partito in una direzione che mi conduceva ad un vicolo cieco, e non ho avuto la pazienza di cambiare tattica)
Considera [tex]$g\in C^1([0,1])$[/tex] tale che [tex]$g(0)=0$[/tex]
Allora la funzione
[tex]$f(x,y)=xg(y)-yg(x)$[/tex] ...
"Un triangolo ha gli angoli $alpha$, $beta$, $gamma$ che verificano la condizione
$cos(3alpha)+cos(3beta)+cos(3gamma)=1$.
Si provi che uno di tali angoli vale $2/3pi$."
Ho provato in mille modi algebrici di risolvere quest'equazione, ma non riesco a trovare il modo giusto. Sapreste aiutarmi a cercare la strada per risolverlo? Grazie mille.
"Dato nel piano un quadrilatero ABCD, tracciare un cerchio equidistante dai quattro vertici. Quanti di questi cerchi si possono tracciare?
(Si ricorda che la distanza di un punto P da un cerchio di centro O e raggio r è OP-r se P è esterno al cerchio, r-OP se P è interno al cerchio)"
Affinché i cerchi in questione siano equidistanti dai quattro vertici, deve essere che il centro di tali cerchi sia equidistante dai quattro vertici. Cioè preso il centro della circonferenza circoscritta al ...
"Sia $AOB$ un angolo di $120°$, $P$ e $Q$ punti ad esso interni. Trovare un punto $M$ sulla semiretta $OA$ e un punto $N$ sulla semiretta $OB$ tali che sia minima la somma $PM+MN+NQ$."
Io l'ho risolto provando a ricondurlo al problema di Eulero.
Traccio il simmetrico di $P$ rispetto ad $AO$ e il simmetrico di $Q$ rispetto a ...
"Si considerino due circonferenze $C$ e $C_1$, di raggi rispettivamente $R$ ed $R_1$, tra loro tangenti esternamente ad un punto $P$, ed una retta $alpha$, tangente ad entrambe, non passante per $P$.
Siano poi:
$C_2$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_1$, di raggio $R_2>R_1$;
$C_3$, la circonferenze tangente ad ...
"Ad ogni polinomio $P(x)$ si associ il polinomio $Q(x)=P(x+1)-P(x)$ (*). Si provi che:
(a) Q è identicamente nullo se e solo se il polinomio $P(x)$ è una costante;
(b) per ogni polinomio $Q(x)$ di grado $<=3$ esistono infiniti polinomi P che verificano la (*)."
Io l'ho risolto in questo modo:
(a) Se $P(x)=k$, allora $Q(x)=0$
$P(x)=a_1x^n+a_2x^(n-1)+...+k$, con $a_1,a_2,...=0$
$P(x-1)=a_1(x+1)^n+a_2(x+1)^(n-1)+...+k=k$
Conseguentemente $Q(x)=P(x+1)-P(x)=k-k=0$
Se ...
"Per un punto P passano tre superfici sferiche distinte tra loro. Si considerino le affermazioni seguenti:
(a) nessuna retta passante per P è tangente a tutte e tre le sfere;
(b) nessuna sfera è tangente ad un'altra;
(c) esiste un altro punto Q in comune alle tre superfici sferiche.
Dire, per ogni coppia di affermazioni, se esse sono incompatibili, se sono equivalenti o se una delle due implica l'altra."
Coppia (a)-(b): ricordando che quando due curve sono tangenti, esse hanno in comune ...
Io ho risolto a mio modo questo problema ma non mi sembra che mi riporti.
"Un battello scende lungo un fiume; sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive. Sapendo che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, si determini il numero delle stazioni.
(Si cerchi una formula che leghi il numero delle stazioni al numero massimo di passaggeri ...
"Date le due progressioni aritmetiche
$1,4,7,...$
$7,33,59,...$
dimostrare che ogni progressioni aritmetica che le contiene entrambe ha ragione uno.
E' in facoltà del candidato generalizzare questo risultato provando che, se due progressioni aritmetiche hanno ragioni prime fra loro, ogni progressione aritmetica che le contenga entrambe ha ragione uno".
La mia risoluzione è stata la seguente:
Primo punto: Affinché la progressione aritmetica che sto cercando contenga entrambe ...
"Dire quale forma deve avere un polinomio $P(x)$ affinché per ogni numero reale $x$ si abbia $1-x^4<=P(x)<=1+x^4$"
Si ha che per ogni $x$ reale, $1-x^4<=1+x^4$. Cosa si intende per "forma del polinomio"?
Ad esempio i polinomi $P(x)=1-x^2$, oppure $P(x)=1+x^2$ rispettano la condizione, ma ovviamente i polinomi che la rispettano sono infiniti.. Cosa mi chiede chiedendomi la forma?
Grazie dell'aiuto.
"Dati nel piano un segmento $AB$ ed una retta $r$, che non intersechi $AB$, determinare il punto (o i punti) di $r$, dai quali $AB$ è visto secondo un angolo massimo"
Il mio intuito mi dice che la soluzione sia quella per cui, chiamando $C$ il vertice dell'angolo che cerco, $AC+CB$ sia minima, cioè il problema di Eulero, cioè tracciando il simmetrico di $A$ rispetto ad $r$ e ...
"Siano dati tre numeri $a$, $b$, $c$. Supponiamo che, per ogni numero intero positivo $n$, esista un triangolo le lunghezze dei lati del quale sono $a^n$, $b^n$, $c^n$, rispettivamente. Dimostrare che tutti questi triangoli sono isosceli."
Allora, io ho cercato di ridare una formulazione a questo esercizio in questo modo: $a$,$b$,$c$ sono tali che per ogni ...
"Mostrare che, per ogni intero positivo $n$, il numero $5^n+2*3^(n-1)+1$ è divisibile per 8$<br />
<br />
Io ho provato con l'induzione:<br />
-Per $n=1$, 5+2+1=8, divisibile per 8;<br />
-Per $n+1$, $5^(n+1)+2*3^n+1$, che è $5*(5^n)+3(2*3^(n-1))+1$<br />
<br />
Come faccio a dimostrare che quest'ultimo polinomio è anch'esso divisibile per 8? C'è una qualche proprietà che dice che se $a+b$ e $c+d$ sono divisibili per 8, lo sono anche $a*c+b*d$?
Oppure l'induzione è la strada sbagliata?
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