Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Se $\mathcal C$ e' una categoria con tutti i limiti e colimiti finiti, dove ogni quadrato commutativo che sia un pullback e' anche un pushout e viceversa (indichiamo questi quadrati universali col nome di pullout), allora in essa
1. Esiste un oggetto zero, ovvero esiste un morfismo \(1\to \varnothing\) tra l'oggetto terminale e l'iniziale;
2. Esistono i biprodotti, ovvero \(X\times Y\cong X\amalg Y\) binaturalmente in $X,Y$.
Sono volutamente sloppy nell'enunciare il ...
... il numero di frazioni necessarie affinché la somma sia maggiore di un dato numero n?
In altre parole esiste un modo formale per descrivere la funzione per cui :
se
$n = 1$
$f(1) = 3$
dato che
$1/2+1/3+1/4 > 1$
grazie in anticipo
F.
[ot]Mi prode la lingua che non possa parlare di fasci e germi di fasci in un punto![/ot]
Dal primo corso di topologia è noto che dato uno spazio topologico \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\), esso determina l'insieme[nota]od anello, ma non è importante[/nota] \(\displaystyle C(X)\) delle funzioni continue da \(\displaystyle(X;\mathcal{T})\) allo spazio topologico \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\).
Ora considero gli insiemi \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle C(X)\)[nota]A questo ...
Senza l'uso del Calcolo, determinare il massimo della funzione :
$f(x,y)=xy^2-6xy-2y^2+9x+12y-18$
nel dominio definita da :
\(\displaystyle \begin{cases}x\ge 2\\y \ge 3\\x+y=8\end{cases} \)
con $x,y $ reali
Se $\zeta(s)=\sum_{n=1}^infty 1/n^s=\prod_{p} 1/(1-p^(-s))$.
considerando gli zeri di un prodotto si ha che un prodotto si annulla se e solo se è nullo almeno uno dei fattori, quindi $\prod_{p} 1/(1-p^(-s))=0$ se $1/(1-p^(-s))=0$ per qualche $p in NN$ e $s in CC$. Ma è possibile che $k/(f(s))=0$ per $k!=0$?
Salve a tutti, stavo girando un po' su internet e sono inciampato su di una "domanda tipica" (cit.) dell'orale della Scuola citata nel titolo della discussione. Ho provato a trovare una soluzione ma non sono riuscito. Vediamo se qualcuno mi può aiutare.
Il problema è molto semplice:
c'è una piscina circolare di raggio R, un nuotatore si trova nel centro e un leone sul bordo. Il leone può muoversi con velocità V di modulo costante e cambiare di direzione. Il nuotatore deve riuscire a ...
Ciao a tutti!
ho un negozio, me ieri mi è successa quello che tutti temono...ammanco di cassa! A differenza di altre volte però la cosa è abbastanza strana, ve la espongo vediamo se qualcuno riesce ad aiutarmi!
L'importo in questione non è esagerato, 30 euro, sono andata a ricontrollare il libro giornale e tra tutte le vendite ne ho fatte 6 per le quali mi hanno dato una banconota da 50...il problema è che a fine giornata mi sono ritrovata con solo 5 banconote da 50 ma con un ammanco di soli ...
$lim_{x-> +infty} (\int_0^(1/x) log(1+arctan t)+1-(1+4t)^(1/4) dt)/(x^(a-2)) $
Esercizio. Sia $(\Omega , \Sigma , P )$ uno spazio di probabilità [nota]Cioè $(\Omega , \Sigma , P )$ è uno spazio con misura tale che $P(\Omega) = 1$.[/nota]. Sia $X$ una variabile aleatoria (estesa) su $\Omega$ [nota]Vale a dire \( X : \Omega \longrightarrow [0, + \infty]\) è una funzione $\Sigma$-Borel misurabile .[/nota] tale che $X \ge 0$. Provare che
\[ \int_{\Omega} X \text{ d}P < \infty \;\; \iff \;\; \sum_{n \ge 1} P (X > n) \; < \infty \;\;.\]
Se non vi ...
(Dini, 1878). Mostrare che \[\int_0^{\pi} \ln(1 - 2 \alpha \cos x + \alpha^2) \, dx = \begin{cases} 0 & \text{if } \alpha^2 < 1 \\ \pi \ln \alpha^2 & \text{if } \alpha^2 > 1 \end{cases} \]
Faccio 2 premesse.
1. Scrivo in questa sezione perché sto divagando a partire da un paio di teoremi di analisi complessa in modo più filosofico che utile; dunque dovrebbe essere qui il posto adatto.
2. Quello che scrivo potrebbe essere qualcosa di inutile o facile... ma magari potrebbe derivarne uno spunto per una discussione interessante.
Inoltre scrivere su "pensare un po' di più", magari per una volta mi fa passare da genio...
Well...
Ci sono 2 teoremi nell'analisi complessa di cui, ...
Per chi ha voglia di cimentarsi, propongo il seguente simpatico problemino.
Esercizio. Sia $\Delta$ un triangolo. Si scelgano quattro punti a caso (e indipendentemente) dentro $\Delta$. Calcolare la probabilità che nessuno di questi quattro punti stia nel triangolo formato dai punti rimanenti.
Problema:
Siano \(a1. Dimostrare che se \(f\) è derivabile in \(]a,b[\) e se:
\[
\tag{I}
\int_a^b f(x)\ \text{d} x = \int_A^B f^{-1}(y)\ \text{d} y\; ,
\]
esistono almeno due punti \(x_1\neq x_2\in ]a,b[\) che soddisfano la proprietà del valor medio:
\[
\tag{PVM}
f^\prime (x_1)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime (x_2)\; .
\]
Suggerimenti: Per semplificare, mostrare che è possibile ricondurre il problema al caso \(a=0=A,\ b=1=B\). Usare la condizione (I) ed un teorema di punto fisso per mostrare ...
Esercizio. $X = [0,1]$. Siano $(X , \mathcal{B}_{[0,1]}, \mu_L )$, $(X , \mathcal{B}_{[0,1]}, \gamma)$ due spazi con misura[nota]Qui $\mathcal{B}_{[0,1]}$ indica la $\sigma$-algebra dei boreliani di $[0,1]$, $\gamma$ la misura di conteggio e $\mu_L$ la misura di Lebesgue.[/nota]. Sia $D \subset [0,1]^2$ l'insieme $\{ (x,x) : x \in [0,1]\}$. Indicando con $\mu_L \times \gamma$ la misura prodotto, calcolare i seguenti integrali:
\[ \int \int \chi_D \text{ d}\mu_L \text{ d}\gamma \;\; , \;\; \int \int ...
Come convincereste vostra nonna che, dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $F$:
1) il campo $F$ può essere visto come spazio vettoriale su sè stesso;
2) tensorizzare $V$ con $F$ non cambia nulla in quanto $V \otimes F$ è canonicamente isomorfo a $V$ ;
che vuol dire intuitivamente questa cosa?
Esercizio (facile). Sia \(f \in L^p (\mathbb{R}^n)\), con \(1 \le p < \infty\).
(i) Provare che \[\lim_{r \to \infty} \int_{|x|>r} |f|^p \, dm =0\]
Sia ora \(F : \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\) definita da \[F(x) = \int_{B(x,1]} f(y) \, dy\] ove \(B(x,1]=\{y \in \mathbb{R}^n \, : \, |y-x| < 1 \}\)
(ii) Mostrare che la formula precedente definisce effettivamente una funzione \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{K}\); provare inoltre che tale \(F\) è continua e limitata. Trovare infine una stima per \(\| ...
Questo esercizio è classificato come quite difficult dall'estensore delle note che sto seguendo.
Non mi ci sono ancora cimentato, ma mi pare interessante.
Esercizio. Siano \([a,b]\) un intervallo compatto e \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) una funzione continua. Definiamo \(N=N_f : \mathbb{R} \to [0,\infty]\) come \(N(y) = \varkappa (f^{\leftarrow}(y))\), dove \(\varkappa\) è la counting measure; cioè \(N(y)\) è il numero di punti nella fibra di \(f\) di \(y\) se tale fibra è finita, altrimenti ...
Questo esercizio mi è venuto in mente tentando di risolverne un altro in questa stessa sezione (Triangoli e probabilità). Non conosco quindi la soluzione, ma mi sono fatto un'idea.
Siano $x$ è $y$ variabili aleatorie con densità di probabilità uniforme tra $0$ e $1$.
Calcolare la densità di probabilità del loro prodotto, $p(xy)$.
$lim_(x->+\infty) [x! e^x/(x^x sqrt(2\pi x))]^x$
Il risultato non è 1
Un problema di geometria differenziale che mi è venuto in mente e propongo a voi esperti. Divisa in tre punti. I primi due servono a me per farmi capire che non sto sfasando totalmente....
Sia $X$ una varietà differenziale e sia $\omega$ in $\Omega^k(X)$ una $k$ forma differenziale chiusa.
1) Sia $\omega$ esatta. E' vero che $\omega$ e la forma differenziale nulla $0$ appartengono alla stessa classe di coomologia?
2) ...
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