Limite complicato

[baldo891]

$lim_(x->+\infty) [x! e^x/(x^x sqrt(2\pi x))]^x$

Il risultato non è 1

[Sk_Anonymous]

Inizio con una riscrittura: \[a_n=\left(n! \frac{e^n}{n^n \sqrt{2 \pi n}} \right)^n = e^{n \ln \left(n! \frac{e^n}{n^n \sqrt{2 \pi n}} \right)} \]
A questo punto ho ripescato alcune stime del fattoriale dalle dispense del corso di Probabilità e Statistica che ho seguito al primo anno; una tra queste è \[\sqrt{2 \pi} n^{n + 1/2} e^{-n+1/(12n+1)} < n! < \sqrt{2 \pi} n^{n + 1/2} e^{-n+1/(12n)} \] Il passo è ora breve: si ottiene \[\lim_{n \to \infty} a_n = e^{1/12} \]

Domanda: pensavi a qualcosa di più "elementare", oppure ammetti anche il cannone?

Edit. Corretto un typo.

[gugo82]

Facile.

La formula di Stirling nella sua versione quantitativa più semplice (che può essere ricavata usando le stime di Robbins) si scrive:
\[
n! = \sqrt{2\pi\ n}\ \frac{n^n}{e^n}\ \left( 1+\frac{1}{12\ n} + \text{o}\left( \frac{1}{n}\right)\right)\; ;
\]
posto \(a_n := \frac{1}{12\ n} + \text{o}\left( \frac{1}{n}\right)\) si ha dunque:
\[
\begin{split}
\lim_n \left(n!\ \frac{e^n}{\sqrt{2\pi\ n}\ n^n}\right)^n &= \lim_n \left( 1+a_n\right)^n\\
&= \lim_n \left(\left( 1+a_n\right)^{1/a_n} \right)^{n\ a_n}\\
&= e^{1/12}\; .
\end{split}
\]

[baldo891]

che bravi questi matematici
rilancio
$lim_(x->\+infty) (x! e^x/(x^x e^(1/(12x))sqrt(2\pi x)))^(x^3)$