Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Ho appena finito di scrivere la versione in italiano di ciò che mi piacerebbe potesse diventare un paper più serio:
http://vixra.org/pdf/1307.0021v1.pdf
Al momento, tranne che nell'appendice, ho lasciato le formule più importanti in versione implicita... con le sommatorie in bella evidenza e l'operatore ceiling nell'argomento
Ho pensato che possa essere il caso di provare ad esplicitare le suddette formule, ma la cosa non mi risulta affatto immediata (nell'appendice era facile, ma ci ho messo comunque ore ...
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Studente Anonimo
5 lug 2013, 19:07
Voglio proporre un esercizio sulla Teoria delle Distribuzioni. Possiedo la soluzione dei primi due punti, ma non dell'ultima domanda (e non sono sicuro che esista una caratterizzazione semplice e pulita come per le prime due domande).
Ricordo che se \( T \in \mathcal D^{\prime}(\mathbb R) \) è una distribuzione e $f \in C^{\infty}(\mathbb R)$ è una funzione liscia, si definisce il prodotto $fT$ (che risulta ancora essere una distribuzione) nel modo seguente:
\[
fT(\varphi) = T(f\varphi), ...
Gentili amici, mi sono iscritto al forum per sottoporvi un dubbio che mi assilla da tempo e concerne le coniche (da Apollonio a Wikipedia).
Se non erro, si va ripetendo che un piano che intersechi un cono circolare (escludendo il caso degenere dell'intersezione con il vertice) origina, nei punti intersezione, un cerchio, un'ellisse, una parabola o un'iperbole.
Viceversa solo in casi particolari vengono generate alcune di tali curve; cerchio e parabola sono correttamente individuati, ma ...
Proposto da un carissimo collega durante una recente lezione di Analisi:
Problema. Esibire uno spazio di Hilbert \( \mathscr H\) e due sottospazi chiusi $W_1, W_2$ tali che il sottospazio somma $W_1+W_2$ non sia chiuso.
La gara sta nel trovare l'esempio più bello o, se vogliamo, quello più elementare. Io ne ho trovato uno ma non è granché, magari esiste qualcosa di più carino... Per inciso, penso che l'ipotesi Hilbert sia rognosa: voglio dire, esempi con Banach (o anche solo o ...
Buona sera a tutti!
Con questo bel caldo mi ero appunto rinchiuso in garage per tenere in moto la mente al fresco!
Vi sottopongo questo quesito, tanto per vedere se ogni tanto riescono anche a me
Si consideri l'espressione:
$4^x + 4^y + 4^z $
Con x,y,z numeri interi non negativi.
-provare che la quantità sopra scritta è un quadrato perfetto per infinite terne di numeri (x,y,z)
-determinare tutte le terne di numeri non negativi (x,y,z) tali che la quantità sopra sia un quadrato ...
Dato che Giammaria ha giustamente chiuso il post in cui stavo chiedendo, ho rinnovato qui:
Ho capito la dimostrazione di $1+2+4+8+16+...+infty=-1$ e stavo pensando ad un'altra:
$S= 1+2+3+4+5+...+infty$ $2S= 2+4+6+8+...+infty$
Ora entro in crisi:
Facendo $S-2S$ risulta $1+3+5+7+...+infty$, ma questo è uguale a $-S$; quindi se $S>0$,$-S<0$: cioè la somma dei dispari è negativa. Se invece fosse positiva ($-S>0$) si avrebbe $S>0$ cioè positiva.
Ma è ...
Dimostrare che le seguenti equazioni non sono tra di loro linearmente indipendenti
$(dot(a)/a)^2=8\piG/3\rho-k/a^2$
$3 dot(a)/a(p+\rho)+dot(\rho)=0$
$(ddot(a))/a=-4\pi G/3(\rho+3p)$
dove la variabile indipentente è $t$ mente le tre variabili dipendenti sono:
$p=p(t)$
$a=a(t)$
$\rho=\rho(t)$
Siano $ABC$ un triangolo acutangolo ed $H$ il suo ortocentro. Detti $H_1,H_2,H_3$ i punti simmetrici di $H$ rispetto ai lati $AB,BC,CA$ rispettivamente, siano $M,N,P$ le intersezioni delle 3 coppie di rette $(AH_1,CH_2),(H_1B,CH_3),(BH_2,H_3A)$
in quest'ordine.Dimostrare che i punti $M,N,P$ stanno sulla stessa retta.
Consideriamo che $pi(x)>ln x/x AA x in RR$.
Prendiamo due numeri: $n^2+2n+1$ e $n^2$.
Voglio vedere quando $pi(n^2+2n+1)-1 >= pi(n^2)$
So che $pi(n^2+2n+1)=(ln(n^2+2n+1)/(n^2+2n+1))+x+y$
e che
$pi(n^2)=(ln(n^2)/n^2)+x$
Sostituisco e trovo
$(ln(n^2+2n+1)/(n^2+2n+1))+y-1 > (ln(n^2)/n^2)$
Scelta una $y$ arbitrariamente grande, c'è qualcuno di voi che sa risolvere questa disequazione? Io ho provato ma mi sono bloccato...
Se riuscite a trovare una soluzione in funzione di $y$ sarebbe l'ideale...grazie per i tentativi di aiuto!
Stabilire il carattere della serie
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\sqrt{n}}{n}\,.
\]
PS: dispongo di una soluzione che, però, mi sembra eccessivamente complicata; vediamo se ne salta fuori qualcuna più semplice.
Premessa: per chi non conosce la funzione di Möbius \(\displaystyle \mu : \mathbb{N}^{*} \to \{0,1,-1\} \), la definisco nello spoiler:- \(\displaystyle \mu(1):=1 \);
- se \(\displaystyle n>1 \) considero la sua fattorizzazione in fattori primi:
\(\displaystyle n= p_1 ^{a_1}\cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} \) con \(\displaystyle p_i \) primo e \(\displaystyle a_i \) intero positivo per ogni \(\displaystyle i \in \{1,2,\ldots,k\} \) e \(\displaystyle p_1
vi propongo il seguente problema:
in un pianeta ci sono tre tipi di esseri viventi, quelli del tipo A del tipo B e del tipo C... ogni essere vivente del tipo A da vita esattamente a tre esseri rispettivamente dei tre tipi A B e C.. un essere del tipo B da vita esattamente a tre esseri rispettivamente del tipo A B e C... ogni essere del tipo C da vita esattamente a due esseri del tipo A e C..
nella prima generazione c' è solo un essere del tipo A.. i figli di A sono della seconda generazione... ...
Assegnata(non dal sottoscritto )la successione di termine generale $a_n=(Pi_(k=0)^n C_(n,k))^(1/(n(n+1)))$,
determinare il comportamento al limite di $(n(a_n-sqrt(e)))/("log"n)$:
ho la soluzione(almeno credo )!
Piccolo hint:
ignorate le ipotesi di lavoro passanti da serie numeriche che avevo precedentemente fatto in merito,
oltre ovviamente a quanto,povero me
(povero me,povero meee,non ho nemmeno un amico qualunque per bere un caffè e,
lo aggiungo io sempre pensando a De Gregori ma non solo,discutere di politica..),le ha ...
Sia:
\(\displaystyle a_n=\left (\prod_{k=0}^n \binom {n}{k}\right )^\frac{1}{n(n+1)} \)
Calcolare $lim_{n->+\infty}a_n$
il limite è $\sqrt e$
Quando l'ho capito sono rimasto parecchio sorpreso...
Poniamo, per chiarezza, [tex]\mathbb N := \{1, 2, \ldots\}[/tex].
Prove it! Sia [tex]K[/tex] un campo. Sia assegnata una famiglia di coefficienti [tex]\{a_{ij}, i,j \in \mathbb N\} \subset K[/tex] tali che per ogni [tex]i \in \mathbb N[/tex] esista solo un numero finito di [tex]j \in \mathbb N[/tex] tali che [tex]a_{ij} \ne 0[/tex]. Siano anche assegnati [tex]\{b_i\}_{i \in \mathbb N} \subset K[/tex]. Infine, siano [tex]\{x_i\}_{i \in ...
Si considerino i polinomi :
$P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x$
$Q(x)=x^4-x^3-x^2-1$
e siano $z_1,z_2,z_3,z_4$ le radici di Q(x) .
Calcolare il valore dell'espressione :
$P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)$
[ot]Il risultato è $6$.[/ot]
Esercizio. Detto \(p_n\) l'\(n\)-esimo numero primo, provare la seguente disuguaglianza di Bonse: \[p_{n+1}^2 < \prod_{i=1}^n p_i \qquad [1] \]per \(n>3\).
Ciao a tutti. Vi sottopongo un problema che mi pare simpatico.
Sia \( \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \) una successione di \( L^2(\mathbb{R}) \), e siano \( f \in L^2(\mathbb{R}) \) e \( g \in L^1(\mathbb{R}) \). Supponiamo di sapere che
\[
f_n \rightharpoonup f \mbox{ weakly- } L^2(\mathbb{R})
\]
e che
\[
f_n^2 \rightharpoonup g \mbox{ weakly- } L^1(\mathbb{R}).
\]
Si dimostri che \( g \geq f^2 \) q.o. in \( \mathbb{R} \).
Io avevo pensato di far vedere che
\[
\int_{\mathbb{R}} (g - f^2) \phi \geq ...
Per altro, andate qui: http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=40&t=115069
Sera, volevo proporvi queste curiosità, e dirmi cosa ne pensate:
"La congettura di Legendre afferma che esiste sempre un numero primo compreso fra \(\displaystyle n^2 \) ed \(\displaystyle (n+1)^2 \)"
Ovvero, tra un quadrato perfetto e il successivo quadrato perfetto, c'è sempre ALMENO un numero primo (congettura);
Ora, con la funzione di Gauss-Legendre "funzione enumerativa dei numeri primi", che esprime in modo abbastanza preciso il numero di numeri ...
Tutti (spero) conoscono la "famigerata" funzione Gamma di Eulero.
\(\displaystyle n!=\Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}t^{n}\rm{d}t} \)
Mi ricordo che, all'università, durante il corso di Analisi Superiore, un mio compagno chiese al prof. "Scusi prof. ma come ci si arriva a quell'integrale, partendo dalla definizione di fattoriale?"
Risultato: GELO TOTALE NELL'AULA!!! (è pur vero che era un Corso di laurea in Biotecnologie, quindi non è che ci si poteva aspettare chissà che, almeno per ...
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