Teoria della Misura - Counting measure, fibre e dintorni

[Sk_Anonymous]

Questo esercizio è classificato come quite difficult dall'estensore delle note che sto seguendo.
Non mi ci sono ancora cimentato, ma mi pare interessante.

Esercizio. Siano \([a,b]\) un intervallo compatto e \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) una funzione continua. Definiamo \(N=N_f : \mathbb{R} \to [0,\infty]\) come \(N(y) = \varkappa (f^{\leftarrow}(y))\), dove \(\varkappa\) è la counting measure; cioè \(N(y)\) è il numero di punti nella fibra di \(f\) di \(y\) se tale fibra è finita, altrimenti \(N(y)=\infty\). Consideriamo ora una successione di partizioni di \([a,b]\): l'\(n\)-esima partizione è \[I(n1)=[a,a + (b-a)/2^n]; \quad I(nk)=]a+((k-1)/2^n)(b-a), a+(k/2^n)(b-a)], \quad k=2, \dots, 2^n\]Poniamo anche \(J(nk)=f(I(nk)), \ k=1, \dots, 2^n\) e \(g_n = \sum_{k=1}^{2^n} \chi_{J(nk)} \).

(i) Provare che \[g_n(y)=\varkappa(\{k \in \{1, \dots, 2^n\} \, : \, f^{\leftarrow}(y) \cap I(nk) \ne \varnothing \})\]e che \(g_n \uparrow N\).

(ii) Siano \(\lambda(nk)=\inf J(nk)\) e \(\Lambda(nk)=\sup J(nk)\). Esprimere \(\int_{\mathbb{R}} g_n (y) \, dy \) tramite queste costanti, e provare che \[\int_{\mathbb{R}} N(y) \, dy = V f([a,b]) \]ove \(Vf\) è la variazione totale di \(f\).

Assumiamo ora che \(f\) sia a variazione limitata su \([a,b]\).
(iii) Provare che c'è un'unica misura positiva \(\mu\) sui boreliani di \([a,b]\) t.c. \(\mu([c,d])=V f([c,d])\) per ogni sottointervallo \([c,d]\) di \([a,b]\).

(iv) Per ogni boreliano \(B\) di \([a,b]\) definiamo la funzione \(N_B : \mathbb{R} \to [0,\infty]\) \[N_B (y) = \varkappa(f^{\leftarrow}(y) \cap B)\] Provare che per ogni \(B\) si ha \[\int_{\mathbb{R}} N_B (y) \, dy = \mu(B)\]
(v) Assumiamo ora che \(f\) sia assolutamente continua. Diciamo che \(y \in \mathbb{R}\) è un valore regolare per \(f\) se per ogni \(x \in f^{\leftarrow}(y)\) la derivata \(f'(x)\) esiste ed è non nulla (in particolare tutti gli \(y \notin [a,b]\) sono valori regolari). Provare che quasi ogni \(y \in\mathbb{R}\) (secondo la misura \(m\) di Lebesgue) è un valore regolare.

[Seneca1]

Il primo punto non è difficile. Bisogna solo fare mente locale sul significato della notazione.
(i)

$n \in \mathbb{N}$ fissato e chiamo $\mathcal{P}_n$ la successione di partizioni. Preso $y \in \mathbb{R}$
\[ g_n(y) = \sum_{k=1}^{2^n} \chi_{J(nk)}(y) \]
è il numero di intervalli $J(nk)$ che contengono $y$; questi $J(nk)$ provengono da $g_n(y)$ intervalli $I(nk)$ di $\mathcal{P}_n$ i quali quindi sono tali che $f^{\leftarrow}(y) \cap I(nk)$. Siccome gli $I(nk)$ formano una partizione di $[a,b]$ si ha
\[g_n(y) = \varkappa(\{k \in \{1, \dots, 2^n\} \, : \, f^{\leftarrow}(y) \cap I(nk) \ne \varnothing \})\]
E' abbastanza facile accorgersi che $g_n(y)$ è una successione monotona, non-decrescente ed è a valori in $\mathbb{N}$. Inoltre $g_n(y) \le N(y)$ e
\[ \lim_n g_n(y) = \sup_{n \in \mathbb{N} } g_n(y) \le N(y)\; .\]
Se fosse \( \sup_{n \in \mathbb{N} } g_n(y) < N(y) \), per ogni $n$ esisterebbe $k$ tale che $I(nk) \cap f^{\leftarrow}(y)$ contiene più di un punto. Ciò non è possibile dato che, all'aumentare di $n$, gli intervalli di $\mathcal{P}_n$ si infittiscono "bene".