Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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(nota: non sono sicuro del se questa sia la sezione giusta, ero indeciso con quella di Ricerca Operativa. Nel caso chiedo ai moderatori di spostare direttamente il thread)
Salve a tutti,
Da un po' stavo pensando a un piccolo progetto a scopo di ricerca, riguardo un concetto apparentemente banale: in città, quanto conviene superare i limiti di velocità, se poi inevitabilmente ci si ritrova a doversi fermare ai vari semafori rossi?
In paesi piccoli la cosa può essere marginale, ma in una città ...
Esercizio. Provare che il numero \[\alpha= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n!}} \]è trascendente.
Possiedo una soluzione (non mia).
Esercizio:
Siano \((a_n)\subseteq [0,1]\) una successione densa in \([0,1]\) ed \((A_n)\subseteq [0,\infty[\) tale che \(\sum \sqrt{A_n}\) sia convergente.
Dimostrare che l'insieme \(X\) dei punti di \([0,1]\) in cui la serie di funzioni:
\[
\sum \frac{A_n}{|x-a_n|}
\]
converge ha misura "piena" in \([0,1]\), i.e. mostrare che vale l'uguaglianza \(\mathcal{L}^1(X)=1=\mathcal{L}^1([0,1])\) (in cui \(\mathcal{L}^1(\cdot)\) denota la misura di Lebesgue sulla retta reale).
Problema (Concorso di ammissione SISSA, 2006). Sia \( f \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty) \) una funzione continua e decrescente, tale che
\[
\int_0^{+\infty} f(x)\,dx
Vediamo se qualcuno tira fuori una soluzione diversa dalla mia per il seguente problema:
Si consideri il sistema dinamico planare
\begin{equation}
\begin{cases}
\dot{x}= -2xy+x^3 \\\dot{y}=-y+x^2
\end{cases}
\end{equation}
[nota]Ovviamente $\dot{x} = \frac{d x}{dt}$ e $\dot{y} = \frac{d y}{ dt}$[/nota]
si provi che l'origine è un punto di equilibrio asintoticamente stabile.
Vorrei risolvere questo esercizio di geometria utilizzando i teoremi della geometria euclidea, però ho trovato molte difficoltà, riesco a risolverlo solo aggiungendo l'ipotesi che il triangolo ABC sia isoscele di base BC.
Aiutatemi a risolverlo anche quando ABC è un triangolo scaleno.
Una circonferenza k e la circonferenza circoscritta a un triangolo ABC sono tangenti esternamente.
Inoltre la circonferenza k è tangente alle rette contenenti i lati AB e AC e siano P e Q rispettivamente i punti ...
Dopo la somma di seni vorrei proporre una somma di coseni. Più precisamente propongo di dimostrare che è :
$\sum_{k=1}^{k=n-1}1/{cos^2({k pi}/{2n})}=2/3(n^2-1)$
Problema. Sia \( f \in C^{1}(\mathbb R^2, \mathbb R) \), con
\[
\frac{\partial}{\partial x} f(t,x) \le 0, \qquad \forall (t,x) \in \mathbb R^2
\]
e inoltre $f(t,0)=0$ per ogni $t \in \RR$. Si consideri il problema di Cauchy
\[
\tag{PC} \begin{cases} y^{\prime} = f(t,y) \\
y(0)=x\end{cases}
\]
con $x \in \RR$. Dimostrare che:
[list=2]
[*:16j29o2u] per ogni $x \in \RR$ la funzione $y_x(\cdot)$, soluzione di (PC) con dato iniziale $x$, è definita su ...
Problema:
1. Dimostrare il seguente teorema, che è una sorta di generalizzazione d'un classico risultato di Rolle[nota]Michel Rolle (1652 – 1719), matematico francese noto per l'omonimo teorema di Calcolo Differenziale e per aver contribuito a diffondere in Europa l'eliminazione (detta in seguito "gaussiana") come tecnica per la risoluzione dei sistemi lineari.[/nota]:
Siano \(a
Problema. Sia \( \phi\ \colon \mathbb R^n \to [0,+\infty )\) una funzione di classe $C^2$ a supporto compatto. Allora la funzione
\[
\begin{split}
H \colon & \mathbb R^n \to [0,+\infty) \\
& x \mapsto \begin{cases} 0 & \phi(x)=0 \\ \frac{\vert \nabla \phi(x)\vert^2}{\phi(x)} & \text{ altrimenti }\end{cases}
\end{split}
\]
è limitata.
Non ho la soluzione, ma ho un'idea che illustro con dettagli di seguito.
Fissiamo $x \in \RR^n$ e sia $h>0$. Allora \( ...
Ciao a tutti, vi espongo il mio problema:
Un quadrato (figura piana) si trova in uno spazio 3D con una certa inclinazione (sia rispetto a X che a Y).
Conosco la coordinata Z di quattro punti sul quadrato (i punti medi dei lati).
Prendo un certo punto appartenente al quadrato, di cui conosco la distanza dai lati e quindi anche quella dai quattro punti "noti" (la distanza è intesa sul piano del quadrato).
Come ricavo la coordinata Z di questo punto?
In altre parole, il quadrato subisce una ...
Dato un $\mathbb{K}$ - spazio vettoriale finitamente generato $V$ e $r$ suoi sottospazi $U_1,...,U_r$, può essere determinata una formula generale per il calcolo di \(\displaystyle \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U_1+\cdots+U_r) \)? Leggendo sul Cailotto (problema 6.1.3 a pag. 62) si può vedere che l'utilizzo del procedimento analogo a quello della costruzione della formula utilizzata dal principio di inclusione - esclusione non è corretto (a causa della non ...
Tutti sappiamo che $ sqrt(\alpha pm \beta)= sqrt(( \alpha +sqrt(\alpha ^2-\beta^2))/2) pm sqrt((\alpha -sqrt(\alpha ^2-\beta^2))/2) $ , ma se il radicale doppio fosse una cosa tipo: $ root(3)(2+sqrt(5)) $ ????!!!!
Io mi regolerei così:
$ root(3)(\alpha pm \beta)= a+b $ [tex]\begin{cases}
a^3+3ab^2=\alpha \\
b^3+3a^2b= \pm \beta
\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}
a^2(a^2+3b^2)^2=\alpha ^2 \\
b^2(b^2+3a^2)^2= \beta ^2
\end{cases}[/tex] $ (a^2-b^2)^3=\alpha ^2-\beta ^2 $ ; $ a^2-b^2=root(3)(\alpha ^2-\beta ^2) $
Saltando per motivi di spazio alcuni semplici passaggi:
[tex]\begin{cases}
4a^3-3a \delta - \alpha =0 ...
L'articolo determinativo nel titolo non è un caso.
Si sà che i più noti criteri di convergenza/divergenza per le serie positive (e.g., i criteri di d'Alembert, di Cauchy, di Raabe, di Bertrand e di Gauss) hanno tutti almeno un caso dubbio, cioè esiste un'eventualità che rende tali criteri totalmente inconclusivi.
Tuttavia c'è un criterio di convergenza che non ha alcun caso dubbio... E proprio a tale criterio è dedicato questo thread.
***
Esercizio:
1. Dimostrare il seguente criterio di ...
Dimostrare che per ogni $x in RR$ e per ogni $Y>=1$
esistono $a,b in ZZ$, tra loro coprimi, con $1<=b<=Y$, tali che $|x-a/b|<=1/(bY)$
Mi sono appena imbattuto in una "strana" congettura che non conoscevo sui numeri primi. Non ho idea se si tratti di una versione "depotenziata" di qualcosa di già provato. Ho fatto qualche test e direi che per valori ragionevolmente piccoli (primi inferiori a $10^4$) parrebbe filare tutto liscio.
Ecco a voi il problema da dimostrare/confutare:
E' vero che tutti primi $p_0≥7$ possono essere espressi nella forma $2*p_1+p_2$, con $p_1$ e ...
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Studente Anonimo
27 lug 2013, 19:06
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