Dimostrare in modo insolito che una funzione è olomorfa
Faccio 2 premesse.
1. Scrivo in questa sezione perché sto divagando a partire da un paio di teoremi di analisi complessa in modo più filosofico che utile; dunque dovrebbe essere qui il posto adatto.
2. Quello che scrivo potrebbe essere qualcosa di inutile o facile... ma magari potrebbe derivarne uno spunto per una discussione interessante.
Inoltre scrivere su "pensare un po' di più", magari per una volta mi fa passare da genio...
Well...
Ci sono 2 teoremi nell'analisi complessa di cui, ignoranza mia, non ricordo il nome. Ma comunque ricordo bene l'enunciato oltre al fatto che con uno si dimostra l'altro.
a)
Sia $f$ una funzione olomorfa in $\Omega$ aperto connesso[nota]Gli appunti di analisi complessa li ho prestati e non ricordo se $\Omega$ doveva essere anche semplicemente connesso.[/nota] in $\CC$ e $Z(f)$ l'insieme degli zeri di $f$. Se $Z(f)$ ha punti di accumulazione, allora $f$ è identicamente nulla.
b)
Siano $f$, $g$ due funzioni olomorfe in $\Omega$ (idem sopra). Se l'insieme ${z \in \CC: f(z)=g(z)}$ presenta punti di accumulazione, allora $f(z)=g(z)$ in $\Omega$.
Il risultato b), inoltre, entrava in gioco nei prolungamenti analitici se non ricordo male e anche nelle estensioni al campo complesso delle usuali funzioni di variabile reale.
Ora, consideriamo la seguente $f:\RR->\RR$
$f(x)=|cos(x)|-cos|x|$
e faccio finta di non sapere che ogni tanto presenta qualche punto di non derivabilità (se non ho sbagliato a fare i calcoli). Tuttavia è una funzione, per me, molto interessante poiché è localmente nulla alternando a queste zone altre in cui assume una forma di un'onda. Se devo essere sincero non mi viene qualcosa di diverso da giochetti del genere con funzioni trigonometriche se qualcuno mi chiedesse "mi dici una funzione localmente nulla ma non identicamente nulla (senza usare parentesi graffe con vari casi)?".
Ora, prendo la funzione $f(z)=|cos(z)|-cos|z|$ con $z\in \CC$.
Essa è l'estensione al piano complesso della funzione definita poc'anzi. Se mi si chiedesse di dimostrare che non è olomorfa, due modi interessanti potrebbero essere i seguenti
- $Z(f)$ ha punti di accumulazione. Se mi restringo ai reali, infatti, per $0 < x
Ora, oltre a tirarmi le orecchie (metaforicamente) se ho scritto qualcosa di sbagliato, mi chiedevo se ci fossero e se non fossero pochi dei casi di funzioni "strane" o "interessanti" per cui si può dimostrare il fatto di essere o non essere olomorfe in maniera diversa dal solito.
Per chi ha seguito un corso di analisi complessa, in genere si tratta di Cauchy-Riemann o integrali curvilinei di vario tipo che non riportano mai...
1. Scrivo in questa sezione perché sto divagando a partire da un paio di teoremi di analisi complessa in modo più filosofico che utile; dunque dovrebbe essere qui il posto adatto.
2. Quello che scrivo potrebbe essere qualcosa di inutile o facile... ma magari potrebbe derivarne uno spunto per una discussione interessante.
Inoltre scrivere su "pensare un po' di più", magari per una volta mi fa passare da genio...
Well...
Ci sono 2 teoremi nell'analisi complessa di cui, ignoranza mia, non ricordo il nome. Ma comunque ricordo bene l'enunciato oltre al fatto che con uno si dimostra l'altro.
a)
Sia $f$ una funzione olomorfa in $\Omega$ aperto connesso[nota]Gli appunti di analisi complessa li ho prestati e non ricordo se $\Omega$ doveva essere anche semplicemente connesso.[/nota] in $\CC$ e $Z(f)$ l'insieme degli zeri di $f$. Se $Z(f)$ ha punti di accumulazione, allora $f$ è identicamente nulla.
b)
Siano $f$, $g$ due funzioni olomorfe in $\Omega$ (idem sopra). Se l'insieme ${z \in \CC: f(z)=g(z)}$ presenta punti di accumulazione, allora $f(z)=g(z)$ in $\Omega$.
Il risultato b), inoltre, entrava in gioco nei prolungamenti analitici se non ricordo male e anche nelle estensioni al campo complesso delle usuali funzioni di variabile reale.
Ora, consideriamo la seguente $f:\RR->\RR$
$f(x)=|cos(x)|-cos|x|$
e faccio finta di non sapere che ogni tanto presenta qualche punto di non derivabilità (se non ho sbagliato a fare i calcoli). Tuttavia è una funzione, per me, molto interessante poiché è localmente nulla alternando a queste zone altre in cui assume una forma di un'onda. Se devo essere sincero non mi viene qualcosa di diverso da giochetti del genere con funzioni trigonometriche se qualcuno mi chiedesse "mi dici una funzione localmente nulla ma non identicamente nulla (senza usare parentesi graffe con vari casi)?".
Ora, prendo la funzione $f(z)=|cos(z)|-cos|z|$ con $z\in \CC$.
Essa è l'estensione al piano complesso della funzione definita poc'anzi. Se mi si chiedesse di dimostrare che non è olomorfa, due modi interessanti potrebbero essere i seguenti
- $Z(f)$ ha punti di accumulazione. Se mi restringo ai reali, infatti, per $0 < x
Ora, oltre a tirarmi le orecchie (metaforicamente) se ho scritto qualcosa di sbagliato, mi chiedevo se ci fossero e se non fossero pochi dei casi di funzioni "strane" o "interessanti" per cui si può dimostrare il fatto di essere o non essere olomorfe in maniera diversa dal solito.
Per chi ha seguito un corso di analisi complessa, in genere si tratta di Cauchy-Riemann o integrali curvilinei di vario tipo che non riportano mai...
Risposte
$\Omega$ non ha bisogno di essere semplicemente connesso. In realta' non e' neanche necessario che il luogo degli zeri abbia punti di accumulazione in $\Omega$, basta che ce li abbia nella chiusura di $\Omega$.
Per il resto non ho capito bene il punto. Ti chiedi che trucchi/argomenti/stratagemmi si potrebbero usare per dimostrare che una funzione NON e' olomorfa? Oltre alle equazioni di Cauchy Riemann o a qualche trucco con gli integrali.
Uno dei trucchi piu' comuni sfrutta il Teorema dell'Applicazione aperta. L'immagine di un aperto attraverso una funzione olomorfa non costante e' un aperto. Quindi se hai una funzione che manda un aperto in qualcosa che non e' aperto, di sicuro non e' olomorfa. In questo modo si trattano tante funzioni, ad esempio tutte quelle che hanno immagine reale.
A me e' quasi sempre capitato di usare il principio del prolungamento analitico, in una delle due forme che hai postato o nella sua terza forma che dice che se una funzione olomorfa ha tutte le derivate nulle in un punto allora e' identicamente nulla.
Ma di trucchi ce ne sono tanti. Ad esempio una funzione intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$ non costante non puo' essere limitata all'infinito. Oppure una funzione olomorfa su un aperto limitato $A$ non puo' divergere ad ogni punto della frontiera di $A$.
Inoltre, si puo' far vedere che se una funzione intera non e' un polinomio allora l'immagine del complementare di ogni compatto e' densa in $\mathbb{C}$ (e' il Teorema di Casorati Weierstrass - c'e' una formulazione piu' precisa, che si chiama Teorema di Picard, ma in genere questo e' sufficiente). Se quindi hai una funzione che non e' un polinomio e la sua immagine evita un aperto, allora quella funzione non puo' essere olomorfa.
Per il resto non ho capito bene il punto. Ti chiedi che trucchi/argomenti/stratagemmi si potrebbero usare per dimostrare che una funzione NON e' olomorfa? Oltre alle equazioni di Cauchy Riemann o a qualche trucco con gli integrali.
Uno dei trucchi piu' comuni sfrutta il Teorema dell'Applicazione aperta. L'immagine di un aperto attraverso una funzione olomorfa non costante e' un aperto. Quindi se hai una funzione che manda un aperto in qualcosa che non e' aperto, di sicuro non e' olomorfa. In questo modo si trattano tante funzioni, ad esempio tutte quelle che hanno immagine reale.
A me e' quasi sempre capitato di usare il principio del prolungamento analitico, in una delle due forme che hai postato o nella sua terza forma che dice che se una funzione olomorfa ha tutte le derivate nulle in un punto allora e' identicamente nulla.
Ma di trucchi ce ne sono tanti. Ad esempio una funzione intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$ non costante non puo' essere limitata all'infinito. Oppure una funzione olomorfa su un aperto limitato $A$ non puo' divergere ad ogni punto della frontiera di $A$.
Inoltre, si puo' far vedere che se una funzione intera non e' un polinomio allora l'immagine del complementare di ogni compatto e' densa in $\mathbb{C}$ (e' il Teorema di Casorati Weierstrass - c'e' una formulazione piu' precisa, che si chiama Teorema di Picard, ma in genere questo e' sufficiente). Se quindi hai una funzione che non e' un polinomio e la sua immagine evita un aperto, allora quella funzione non puo' essere olomorfa.
"Pappappero":
$\Omega$ non ha bisogno di essere semplicemente connesso.
Questo non me lo ricordavo, ero indeciso. Prima o poi rimetterò le mani sui miei appunti di analisi complessa (che tra l'altro mi ricordano tempi migliori
).Per il resto non ho capito bene il punto. Ti chiedi che trucchi/argomenti/stratagemmi si potrebbero usare per dimostrare che una funzione NON e' olomorfa? Oltre alle equazioni di Cauchy Riemann o a qualche trucco con gli integrali.
Sì, infatti. Forse è per questo che non ho avuto risposte ma il punto è proprio quello che hai centrato.
Al corso di analisi complessa ci fanno passare mesi a dimostrare che una funzione è olomorfa con i soliti metodi delle equazioni C-R o su fatti degli integrali curvilinei (oppure a dire "è somma/prodotto/..." di funzioni olomorfe).
Magari, vedendo che ci sono funzioni che non soddisfano particolari risultati, si può risalire al fatto che non sono olomorfe in 2 righe evitando le solite procedure.
Uno dei trucchi piu' comuni sfrutta il Teorema dell'Applicazione aperta. L'immagine di un aperto attraverso una funzione olomorfa non costante e' un aperto. Quindi se hai una funzione che manda un aperto in qualcosa che non e' aperto, di sicuro non e' olomorfa. In questo modo si trattano tante funzioni, ad esempio tutte quelle che hanno immagine reale.
Giusto.
Ma di trucchi ce ne sono tanti. Ad esempio una funzione intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$ non costante non puo' essere limitata all'infinito. Oppure una funzione olomorfa su un aperto limitato $A$ non puo' divergere ad ogni punto della frontiera di $A$.
Il teorema di Liouville, non ci avevo pensato che anche questo potesse servire per dimostrare che una funzione non era intera.
Inoltre, si puo' far vedere che se una funzione intera non e' un polinomio allora l'immagine del complementare di ogni compatto e' densa in $\mathbb{C}$ (e' il Teorema di Casorati Weierstrass - c'e' una formulazione piu' precisa, che si chiama Teorema di Picard, ma in genere questo e' sufficiente). Se quindi hai una funzione che non e' un polinomio e la sua immagine evita un aperto, allora quella funzione non puo' essere olomorfa.
Su questo mi informerò, nel corso che ho seguito di analisi complessa non ci si è sprecati troppo sulle funzioni intere...
Grazie mille per la risposta, Pappappero.
Correggo un paio di cose:
Il teorema di Casorati-Weierstrass e' piu' generale di come lo ho citato io. Parla piu' in generale di intorni di singolarita' essenziali. L'immagine di un intorno di una singolarita' essenziale di una funzione olomorfa e' densa in $\mathbb{C}$ (e Picard dice che tale immagine e' tutto $\mathbb{C}$ eccetto al massimo un punto). In particolare le funzioni intere non costanti hanno una singolarita' all'infinito, che e' un polo per i polinomi ed essenziale per quelle che non sono polinomi.
Per quanto riguarda il dominio semplicemente connesso, il problema e' molto piu' facile di quello che sembra. L'olomorfia e' una proprieta' locale e un aperto di $\mathbb{C}$ e' localmente semplicemente connesso (perche' le palle sono semplicemente connesse). Quindi qualunque proprieta' locale che puoi provare per semplicemente connessi si estende a qualunque aperto.
Ho poi scritto
Il teorema di Casorati-Weierstrass e' piu' generale di come lo ho citato io. Parla piu' in generale di intorni di singolarita' essenziali. L'immagine di un intorno di una singolarita' essenziale di una funzione olomorfa e' densa in $\mathbb{C}$ (e Picard dice che tale immagine e' tutto $\mathbb{C}$ eccetto al massimo un punto). In particolare le funzioni intere non costanti hanno una singolarita' all'infinito, che e' un polo per i polinomi ed essenziale per quelle che non sono polinomi.
Per quanto riguarda il dominio semplicemente connesso, il problema e' molto piu' facile di quello che sembra. L'olomorfia e' una proprieta' locale e un aperto di $\mathbb{C}$ e' localmente semplicemente connesso (perche' le palle sono semplicemente connesse). Quindi qualunque proprieta' locale che puoi provare per semplicemente connessi si estende a qualunque aperto.
Ho poi scritto
Oppure una funzione olomorfa su un aperto limitato $A$ non puo' divergere ad ogni punto della frontiera di $A$.Questo e' vero ma non e' per nulla banale dimostrarlo. Hint: Se $A$ e' il disco unitario e' piu' facile. (alla faccia dell'hint)
@ Zero87: Quelli che citi non sono modi insoliti, anzi...
Inoltre, noto che la funzione \(f(z) := |\cos z| - \cos |z|\) non può essere olomorfa anche perché assume solo valori real e non è costante (facile conseguenza delle condizioni di C-R).
Inoltre, noto che la funzione \(f(z) := |\cos z| - \cos |z|\) non può essere olomorfa anche perché assume solo valori real e non è costante (facile conseguenza delle condizioni di C-R).
"gugo82":
Inoltre, noto che la funzione \(f(z) := |\cos z| - \cos |z|\) non può essere olomorfa anche perché assume solo valori real e non è costante (facile conseguenza delle condizioni di C-R).
Non ci avevo pensato, ero preso a vedere delle proprietà particolari tralasciando i metodi standard: forse perché mi aveva affascinato questa funzione localmente nulla anche se non identicamente nulla scritta in un'unica riga.
E' strano come cose "scritte in un unica riga" lo siano solo apparentemente. In genere quando si immaginano funzioni definite su "un unica riga" si ha in mente composizione di funzioni elementari. Quella funzione non e' composizione di funzioni elementari, perche' il valore assoluto non lo e'.
In pratica, se io mi invento una funzione strana e sbilenca, magari anche piu' del valore assoluto, e la indico con sbil(x), allora posso scrivere una funzione su una sola riga che ha dentro la mia funzione sbilenca, che con ogni probabilita' avra' un sacco di proprieta' strane pur essendo scritta su un'unica riga.
Le funzioni "belle" sono quindi quelle ottenibili come composizione di funzioni elementari. Le funzioni elementari sono olomorfe su $\mathbb{C}$ nei loro domini e quindi lo saranno anche le loro composizioni.
In pratica, se io mi invento una funzione strana e sbilenca, magari anche piu' del valore assoluto, e la indico con sbil(x), allora posso scrivere una funzione su una sola riga che ha dentro la mia funzione sbilenca, che con ogni probabilita' avra' un sacco di proprieta' strane pur essendo scritta su un'unica riga.
Le funzioni "belle" sono quindi quelle ottenibili come composizione di funzioni elementari. Le funzioni elementari sono olomorfe su $\mathbb{C}$ nei loro domini e quindi lo saranno anche le loro composizioni.
"Pappappero":
E' strano come cose "scritte in un unica riga" lo siano solo apparentemente.
Sì, infatti, anche perché il modulo - in sé - presuppone 2 casi diversi (argomento positivo lo tolgo, argomento negativo lo tolgo cambiando segno). Però il fascino dell'ordine, senza ricorrere alle parentesi graffe... mi affascina anche se è una cosa finta.
@ Pappappero: Beh, però si può anche definire \(|x|:=\sqrt{x^2}\) o \(|x| := \max \{ x,-x\}\), in modo da tenere tutto "in un unica riga"...
Forse la distinzione tra funzioni definite a tratti e funzioni non definite a tratti è un po' fallace.
Visto che stiamo parlando di funzioni in variabile complessa, si può notare che non basta una funzione definita a tratti per indicare $|z|$. Bisogna usare $\bar{z}$. In effetti la definizione a tratti, così come anche entrambe le definizioni del post precedente, non si estendono al caso complesso senza usare il coniugio.
Visto che stiamo parlando di funzioni in variabile complessa, si può notare che non basta una funzione definita a tratti per indicare $|z|$. Bisogna usare $\bar{z}$. In effetti la definizione a tratti, così come anche entrambe le definizioni del post precedente, non si estendono al caso complesso senza usare il coniugio.
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