Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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Il primo di due problemi che ci avrei tenuto a risolvere ma nessuno ha mai [strike]cag-[/strike]considerato.
Data una varieta' simplettica $\mathcal M=(M,\omega)$ chiamo $\mathcal M^-$ la varieta' simplettica ottenuta cambiando segno alla forma, $\mathcal M^{-} =(M,-\omega)$. La mia domanda, forse molto banale, e': a che condizioni esistono simplettomorfismi $\mathcal M\to \mathcal M^-$?
Salve a tutti,
Sto preparando per l'esame di Analisi Superiore un seminario in cui devo mostrare il fatto che gli omomorfismi tra algebre di Banach possono essere discontinui mentre se si considerano omomorfismi tra C* - algebre allora sono automaticamente continui. Cercavo un breve esempio di omomorfismo tra algebre di Banach che sia discontinuo in modo da arricchire la mia trattazione. Grazie anticipatamente per i suggerimenti!
E' ben noto che :
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)
A questo risultato ci si arriva in vari modi. Suggerisco di ricavarlo partendo dallo sviluppo in serie di Mc Laurin della
funzione $sinx$ :
$sinx=x-x^3/{3!}+x^5/{5!}+...+(-1)^n x^{2n+1}/{(2n+1)!}+...$
Salve ragazzi, volevo suggerirvi una dimostrazione davvero simpatica (non mia purtroppo ) del piccolo teorema di Fermat.
Il teorema afferma che:
\[a^p \equiv a \mod p\]
con p primo.
Che ne dite di dimostrarla tramite un ragionamento di tipo combinatorio?
Quando la ho letta, mi sono detto: mannaggia quel demonio mannaggia
Intendo proporre un problema che secondo me è davvero molto bello: ne ho parlato un po' con miei colleghi, è un po' di giorni che ci pensiamo ma non è uscito nulla (l'ho messo anche su SciMat).
Problema. Detto \(D \subset \mathbb C\) il disco aperto unitario nel piano complesso, sia \( f \colon D \to D\) una funzione che soddisfi questa proprietà: per ogni tre punti \( z_1, z_2, z_3 \in D\) esiste una funzione olomorfa \(g \colon D \to D\) t.c. \(f(z_k)=g(z_k)\) per ...
Problema. Sia \((X,\mathscr M, \mu)\) uno spazio di misura, con $\mu$ di probabilità[nota]Penso basti $\mu$ finita.[/nota]. Sia $E$ un sottospazio chiuso di $L^2(X)$ tale che esista una costante positiva $C>0$
\[
\Vert f \Vert_{\infty} \le C \Vert f \Vert_{2}, \qquad \forall f \in E.
\]
Mostrare che $E$ ha dimensione finita.
A voi.
Sia $(a_n)_{n in NN\\{0}}$ la successione così definita: ${(a_1=1),(a_{n+1} = 2 a_n * sqrt{3(a_n)^2+1}):}$
Dimostrare che per ogni $n in NN\\{0}$ si ha $a_n in NN$
Se serve, i primi elementi della successione sono
$a_1=1$,
$a_2=2*1*2=4$,
$a_3=2*4*7=56$,
$a_4= 2*56*97=10864$,
$a_5=2*10864*18817=408855776$
Quando il polinomio 3*x^2 + 3*x + 1 sugli interi è un quadrato perfetto?
Nel mio lavoro di tesi mi sono imbattuto nei gruppi ordinati, in particolare ho dimostrato (in maniera alternativa a quella di Levi) il Teorema di Levi.
Un gruppo abeliano è ordinabile se e solo se è privo di torsione
Sarei curioso di vedere se qualcuno è in grado di dimostrarlo, anche riproponendo la dimostrazione di Levi, o proponendo dimostrazione alternative....poi se qualcuno è curioso posso mostrare il mio approccio, attraverso strumenti logici.
Buon divertimento
Esercizio (facile). Sia \(n \in \mathbb{N}\). Senza usare fatti "noti" sulla funzione Gamma di Eulero, provare che vale la seguente uguaglianza: \[\int_0^{+\infty} x^n e^{-x^2} \, dx = \begin{cases} \frac{\sqrt{\pi} (n-1)!!}{2^{\frac{n}{2} +1 }} & \text{if n pari} \\ \frac{(n-1)!!}{2^{\frac{n+1}{2}}} & \text{if n dispari} \end{cases} \]
In tutto il seguito [tex](R,+,\cdot)[/tex] denoterà un anello unitario (non necessariamente commutativo, però). [tex]M[/tex] denoterà invece un [tex]R[/tex]-modulo sinistro.
Definizione 0. Sia [tex]M[/tex] un [tex]R[/tex]-modulo sinistro. Diciamo che [tex]M[/tex] è semplice se non ammette sottomoduli propri.
Definizione 1. Sia [tex]M[/tex] un [tex]R[/tex]-modulo sinistro. Diciamo annullatore di [tex]M[/tex] l'insieme [tex]\text{Ann}(M) = \{a \in R \mid a m = 0_M \: \forall m \in ...
Sia \(A\subseteq [-a,a]\) un insieme misurabile. Dimostrare che
\[
\int_A (a-|x|) \, dx \leq a\, |A| - \frac{|A|^2}{4},
\]
dove \(|A|\) denota la misura di Lebesgue di \(A\).
Edit: corretto il secondo membro.
Giocherellando con le serie di Dirichet mi sono imbattuto in una funzione, l'ho chiamata $P_k(n)$, definita come
$$
P_k(n)\stackrel{def}{:=}\sum_{d \;\!\mid\;\! n}{k^d}
$$
Ora, banalmente vale $P_0(n)=0$ e $P_1(n)=\sigma_0(n)=\tau(n)=d(n)$. Verificare se
$$
P_i(n)=\sum_{d \;\!\mid\;\! n}{i^d}\qquad(i=\sqrt{-1})
$$
è additiva o moltiplicativa (semplicemente o completamente)
Mostrare che $\forall\Re(s)>1$
$$
\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{\sigma_0(n)}{n^s}}=\zeta^2(s)
$$
dove $\sigma$ è la Funzione sigma sui positivi e $\zeta$ la funzione zeta di Riemann.
Nel calcolo del valore di questo prodotto di integrali ho avuto qualche difficoltà
$$
\left(\int_{0}^{\infty}{\frac{x}{e^x-i}\,{\rm d}x}\right)\cdot\left(\int_{0}^{\infty}{\frac{y}{e^y+i}\,{\rm d}y}\right)\qquad(i=\sqrt{-1})
$$
Qualcuno sa come si risolve per caso? Non conosco la soluzione esatta ma se l'occhio non m'ha ingannato dovrebbe venire un numero reale.
Propongo un problema classico ma carino e relativamente facile.
Problema:
Supponiamo di avere in tasca una somma iniziale di $i$ € e di partecipare ad un gioco d'azzardo molto semplice: ad ogni mano di questo gioco possiamo vincere $1$ € con probabilità $p$ oppure perdere $1$ con probabilità $1-p$. Supponiamo di ritenerci soddisfatti, e quindi smettiamo di giocare, se riusciamo a raggiungere la somma di $N$ € ...
ciao a tutti, devo trovare un esempio di funzione f assolutamente continua e una funzione g \alpha holderiana con \alpha \in (0,1) tale che la composizione g f non sia assolutamnete continua. qualcuno mi dia una mano sono due giorni che ci provo. grazie
Problema. Sia $f: [0,1]\to [0,1]$ di classe $C^1$, concava e tale che $f(0)=0=f(1)$. Dimostrare che la lunghezza del grafico di $f$ è al più 3.
Ho visto una soluzione che non mi ha convinto troppo. Vediamo se ne troviamo qualcuna più carina...
Due giocatori A e B lanciano alternativamente due dadi ciascuno, cominciando con A. Il giocatore A vince in ogni turno se ottiene come somma 6, B se ottiene come somma 7; vince il gioco chi ottiene per primo il suo risultato.
calcolare la probabilità di vittoria di ciascun giocatore.
Non possiedo la soluzione ma solo il risultato, ad una prima vista può sembrare semplice (forse lo è veramente) ma proprio non ci riesco.
La probabilità che lanciando due dadi la somma dia 6 è 5/36 mentre la ...
Si consideri la successione ${a_n}$ così definita :
\(\displaystyle \begin{cases}a_o=1\\a_1=2 \end{cases} \)
e per $n>1$ sia:
$a_{n-1}\cdot a_n+2a_n \cdot a_{n+1}=3a_{n-1}\cdot a_{n+1} $
Calcolare $a_n$ in forma chiusa.
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